Скачать

Элементы теории множеств

До второй половины XIX века понятие “множества” не рассматривалось в качестве математического (“множество книг на полке”, “множество человеческих добродетелей” и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным “множеством”. Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого “натуральным рядом” — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию “множества”, рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде “множество есть многое, мыслимое как единое”, и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что “бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих”). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от, лежащего в основе программы Кантора, представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества “существуют” исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.

Таким образом, понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств.

Плодотворность теоретико-множественной концепции заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

В связи с этим возникает круг задач, которые разрешимы только средствами теоретико-множественной концепции.

Целями данной курсовой работы являются:

Изучение исходных понятий теории множеств, а также аксиоматики теории множеств.

Систематизация теоретико-множественной концепции.

Интеграция научной информации в учебный процесс.

Задачи курсовой работы “Элементы теории множеств”:

Поиск наиболее полного, содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств.

Изучение определений и теорем в соответствии с различными научными подходами.

Создание компьютерной презентации с целью использования в качестве наглядного пособия при изучении теории множеств.

Создание электронного учебника, позиционируемого как справочное пособие для домашнего самостоятельного изучения.

Глава 1. Исходные понятия теории множеств

1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие в математике

В 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел).

В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Суть понятия “множество” вполне передается словами: “совокупность”, “собрание”, “набор” и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие “множество” неопределимо.

Несмотря на это, определить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Определить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами.

Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.

Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ... , M, K, ... . Если множество A состоит из элементов a, b, c, ... , это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, ...}. Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: aA. Если же a не является элементом множества A , то пишут aA. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество является частью любого множества.

1.2. Способы задания множеств

Для того, чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различными способами:

перечислением элементов: M = {m1 ,m2 , ... , mn};

характеристическим условием (свойством): M = {x | P(x)};

порождающим правилом: M = {x | x = f(t)};

Первый способ полностью описывает множество. Однако он применим только для конечных (а, вообще говоря, для конечно обозримых множеств). При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считается несущественным порядок перечисляемых элементов.

Пример.

Задание множества первых пяти нечетных натуральных чисел перечислением элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}.

Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству M и, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечных множеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логического утверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями, неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае не принадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: в таком случае в записи могут использоваться следующие знаки:

●  - равносильно “и”;

● V – равносильно “или”;

●  - квантор всеобщности;

●  - квантор существования.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.

Пример.

Элемент x множества М есть целое число, квадрат которого меньше нуля.

M = {x | xZ  x2 < 0}.

Третий способ задания множества сводится к построению конкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающее правило описывает способ построения объектов, которые являются элементами определяемого множества.

Пример.

Зададим два множества перечислением: M1 := {1,2}; M2 := {1}.

Зададим множество M3 правилом построения его элементов:

M3 := {x | x = (x1,x2), x1M1, x2M2}.

Правило читается следующим образом: Для того, чтобы построить элемент множества M3, надо взять один объект из множества M1, второй объект из множества M2 и составить из них упорядоченную пару (часто говорят кортеж длины 2). Руководствуясь этим правилом, можно построить каждый элемент множества M3: (1,1), (2,1).

1.3. Равенство множеств

Определение равенства множеств. Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из xA следует xB и обратно, из xB следует xA.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

А=В ó x | xA ó xB.

Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Чтобы доказать равенство двух множеств, необходимо доказать, что:

x | xA Þ xB;

x | x B Þ x A.

Пример.

Равенство всех пустых множеств (A=, B= Þ A=B).

А – множество корней уравнения (x-1)(x-2)=0. B – множество, состоящее из элементов 1 и 2: B={1,2}. A=B.

Глава 2. Основные теоретико-множественные отношения

2.1. Подмножества

Определение подмножества. Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А, принадлежит множеству В.

Формальная запись: A B ó x | xA  xB.

Если A является подмножеством B, то B называется надмножеством A.

Если среди данных множеств одно из них является подмножеством другого, это обозначает, что они связаны отношением включения.

Отношение нестрогого включения обозначается “”.

Отношение строгого включения обозначается “”.

AB обозначает, что множество A содержится в B, при чем А может быть равным множеству B. Строгое включение исключает такое равенство.

Если AB, A , то A – собственное подмножество множества В.

Свойства отношения включения.

A выполняется AA (рефлексивность).

A, B выполняется AB  BA Þ A=B (антисимметричность).

A, B, C выполняется AB  BC Þ AC (транзитивность).

Пример.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество {2, 4, 6, ... , 2n, ...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел {1, 2, 3, 4…}.

2.2. Операции над множествами и их свойства

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Определение объединения множеств. Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. AB={x | xA V xB}.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6}. AB={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Определение пересечения множеств. Произведением, или пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. AB = {x | xA  xB}.

Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества АВ составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза “и”.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={1, 3, 7, 9}. AB={1, 3}.

Определение разности множеств. Разностью между множеством A и множеством B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B. AB = {x | xA  xB}.

Если множества А и В заданы характеристическими свойствами их элементов, то из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А U В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза “или”.

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 9}. AB={5, 18}.

Определение симметрической разности множеств. Симметрической разностью множеств A и B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B в объединении с множеством всех элементов из B, не являющихся элементами множества A. A∆B=(AB)(BA).

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 12}. A∆B={5, 7, 12, 18}.

Определение абсолютного дополнения. Пусть A – подмножество U. Абсолютным дополнением множества A до множества U называется множество, содержащее все элементы множества U, которые не принадлежат множеству A. A'==UA, где U - универсальное множество. =UA={x | xU  xA}.

Обычно все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, которое называют универсальным. Например, для числовых множеств универсальным является R, для точечных множеств на плоскости - множество точек всей плоскости и т.д.

Приоритеты операций.

Под приоритетом операции понимается порядок ее выполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции объединения.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции вычитания.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.

Пример. В выражении CАВ надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Свойства операций над множествами.

1. A, AA=A. AA=A (идемпотентность).

2. Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно):

A ,B AB = BA; A ,B AB = BA.

Доказательство.

Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть xAB, тогда xA и xB, следовательно, xBA. Отсюда (AB)(BA). Аналогично доказывается обратное утверждение (BA)(AB). Отсюда AB = BA.

Пусть xAB, тогда либо xA, либо xB, но тогда xBA и (AB)  (BA). Аналогично (BA)  (AB). Следовательно, AB = BA.

3. Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем (AB)C=A(BC); (AB)C=A(BC).

Доказательство.

Пусть x(AB)C, отсюда x(AB) и xC, или xA, xB, xC. Отсюда x(BC) и xA, следовательно, xA(BC) и верно (AB)CA(BC). Наоборот, если xA(BC), следует, что xA, xC, xB, откуда x(AB)C и верно A(BC)(AB)C. Отсюда A(BC) = (AB)C. Аналогично доказывается равенство множеств A(BC) = (AB)C.

4. Для любых множеств A, B справедливо: если AB, то AB = A; AB = B.

Доказательство.

Пусть xAB, то есть xA и xB, отсюда xA. Пусть теперь xA. Из условия AB следует, что xB, отсюда xAB. Следовательно, AB = A.

Пусть xA B, тогда xA или xB. Но AB, и, следовательно, xB, ABB. Если xB, то по определению xAB и верно включение BAB. Отсюда AB = B.

5. Для любых множеств A, B и C справедливы равенства (свойство дистрибутивности):

a) A(BC) = (AB) (AC);

б) A(BC) = (AB) (AC).

Доказательство.

а) Пусть xA(BC). Тогда xA и x(BC) → xA, xB или xC → xAB или xAC → x (AB)(AC) → A(BC) (AB)(AC). Пусть x (AB)(AC). Тогда x(AB) или x(AС)→(xA, xB) или (xA, xC) → xA и xB или xC→xA(BC) и отсюда (AB)(AC) A(BC). Окончательно имеем A(BC) = (AB)(AC).

б) Пусть xA (BC). Тогда xA или x (BC) → xA или (xB и xC) → (xA или xB) и (xA или xC) → x (AB) (AC) → A (BC) (AB) (AC). Обратно, пусть x (AB) (AC). Тогда x (AB) и x (AC) → (xA или xB) и (xA или xC) → или xA или (xB и xC) → xA (BC), то есть (AB) (AC)A (BC). Следовательно, A (BC) = (AB) (AC).

6. ; (законы де Моргана).

7. Свойства универсального и пустого множества: A справедливо

AU=U;

A=A;

AU=A;

A=;

;

;

A=A;

8. Свойства абсолютного дополнения: A справедливо

A=U;

;

A=.

9. Частные свойства разности множеств:

Если AB=, то АВ=А;

Если AB, то АВ=;

АВ = А(АВ);

AA =;

A =A.

2.3. Диаграммы Эйлера-Венна

Операции множеств и связанные с ними соотношения представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера-Венна (названных по имени русского математика Леонарда Эйлера (1707-1783гг.) и английского логика Джона Венна (1834-1923гг.). На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, исходя из того, что внутренними точками круга изображаются элементы множества. Общей частью двух кругов, пересекающих друг друга, представляются возможные общие элементы двух множеств. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Единичный элемент множества – точкой в круге.

Объединение множеств C=АВ (зеленое выделение):

Рис. 1

Пересечение множеств C=АВ (черное выделение):

Рис. 2

Множество В является подмножеством множества А:

Рис. 3

Разность AB (зеленое выделение):

Рис. 4

Дополнение ко множеству А (синее выделение):

Рис. 5

Симметрическая разность множеств А∆B (зеленое выделение):

Рис. 6

2.4. Прямое произведение множеств

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово (прямое) произведение множеств.

Пусть A и B - множества. Выражение вида (a, b) , где aA и bB, называется упорядоченной парой. Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Равенство вида (a, b)=(c, d) означает, что a=c и b=d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a1, a2, a3, … ,an) из элементов a1A1, a2A2 … anAn. Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами.

Определение прямого произведения множеств. Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2,… An называется множество упорядоченных наборов (кортежей) вида A1A2…An={( a1, a2,… an | aiAi}.

Из вышеприведенного определения следует, что для любых a1a2 справедливо (a1,a2) (a1,a2).

Операция нахождения декартова произведения множеств называется декартовым умножением множеств.

Определение степени прямого произведения. Степенью декартового произведения A1A2…An называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества Ai одинаковы, то используют обозначение

An=AA…A.

Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения множеств. Так как декартовы произведения (a1, a2) (a2, a1), a1a2 состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств свойством коммутативности не обладает.

Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и ассоциативность. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств: для любых множеств А, В и С справедливо:

(A U B)  C = ( A  C ) U ( B  C );

(A B) C = ( A C ) ( B  C ).

2.5. Отношения на множестве

Определение отношения степени n. Подмножество R декартового произведения множеств A1 A2… An называется отношением степени n (n-арным отношением).

Определение мощности отношения. Мощность множества кортежей, входящих в отношение R, называют мощностью отношения R.

Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц.

Т.к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины “отношение степени 1” и “подмножество” являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:

Во-первых, все элементы отношения есть однотипные кортежи. Если же множество состоит из разнотипных числовых кортежей, то это множество не является отношением ни в R1, ни в R2, ни в Rn.

Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение A1A2…An, отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения.

Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение P(x1 ,x2, … , xn), зависящее от n параметров и определяющее, будет ли кортеж (a1, a2, … ,an) принадлежать отношению R. Это логическое выражение называют предикатом отношения R. Более точно, кортеж (a1, a2, … ,an) принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда предикат этого отношения P(a1, a2, … ,an) принимает значение “истина”. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между n-арными отношениями и n-местными предикатами.

Примеры отношений.

Бинарные отношения (отношения степени 2)

В математике большую роль играют бинарные отношения, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств A1A2.

Определение отношения эквивалентности. Отношение R на множестве A2 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

(x, x)R для всех xA (рефлексивность).

Если (x, y)R, то (y, x)R (симметричность).

Если (x, y)R и (y, z)R, то (x, z)R (транзитивность).

Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком “=” или “”. Говорят, что это отношение задано на множестве А (но не на А2). Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

x=x для всех xA (рефлексивность).

Если x=y, то y=x (симметричность).

Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность).

Определение отношения порядка. Отношение R на множестве A2 называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:

Если (x, y)R и (y, x)R, то x=y (антисимметричность).

Если (x, y)R и (y, z)R, то (x, z)R (транзитивность).

Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов x и y выполняется xy , то говорят, что x “предшествует” y. Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

xx для всех xA (рефлексивность).

Если x  y и y  x, то x = y (антисимметричность).

Если x  y и y  z, то x  z(транзитивность).

Определение функционального отношения. Отношение R на декартовом произведении двух множеств A1A2 называется функциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:

Если (x, y)R и (x, z)R, то y=z (однозначность функции).

Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости - (x, y)R тогда и только тогда, когда y=f(x). Функциональные отношения (подмножества декартового произведения) называют иначе графиком функциональной зависимости.

N-арные отношения (отношения степени n).

В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.

Глава 3. Теория бесконечных множеств

3.1. Мощность множества

Понятие “мощность множества” введено основателем теории множеств Г. Кантором (1878), который установил, что мощность множества действительных чисел больше , и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.

Мощность множества в математике есть обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». Мощность множества определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощности называются часто кардинальными (т. е. количественными) числами.

3.2. Множество натуральных чисел

Определение натурального множества. Всякое множество, удовлетворяющее свойствам

1N

n, nN Þ n + 1N

n, nN, n1 Þ $ yN, n = y +1

называется множеством натуральных чисел.

Множество N удовлетворяет аксиомам Пеано:

1N.

n, nN Þ n’N.

nN Þ n’1.

nN, mN, n’=m’ Þ n=m.

.

Где n’ = n+1.

Данное множество – множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, …}.

Замечание. Множество ={0, 1, 2, 3…} называют расширением натурального множества.

Стандартные обозначения некоторых множеств.

N – множество всех натуральных чисел.

Z – множество всех целых чисел.

Z+ – множество целых неотрицательных чисел.

Z– – множество целых неположительных чисел.

Q – множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

R+ – множество неотрицательных действительных чисел.

R– – множество неположительных действительных чисел.

3.3. Конечные и бесконечные множества

Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.

Пример. A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.

Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Пример. Множество натуральных чисел является бесконечным.

3.4. Счетные множества и их свойства

Определение взаимнооднозначного соответствия. Пусть А и В два множества. Правило j которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент b множества В, причем каждый элемент bВ оказывается соотнесенным одному и только одному аА, называется взаимнооднозначным соответствием между множеством А и множеством В.

Определение эквивалентности множеств. Если между множеством А и множеством В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность, и обозначают этот факт следующим образом: А ~ В.

Определение счетного множества. Пусть N множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, . . .}, тогда всякое множество А эквивалентное множеству N будет называться исчислимым, или счётным множеством.

Пример. А={1, 4, 9, 16, . . . ,n, . . .}; B={3, 6, 9, 12, . . . ,3n, . . . }.

Наименьшей бесконечной мощностью является (алеф ноль) — мощность множества натуральных чисел.

Теорема (необходимое и достаточное условие счетности множества). Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в форме последовательности:

Х={x, x, x, …, x, …} (*).

Доказательство необходимости. Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N. Достаточно обозначить через х, тот из элементов множества Х, который в соответствии с j отвечает числу n,чтобы получить представление множества Х в форме (*).

Доказательство достаточности. Если множество Х представлено в форме (*), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс n этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N, так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное.

Замечание. Все счетные множества эквивалентны между собой.

Свойства счетных множеств:

Всякое подмножество счетного множества конечно либо счетно.

Объединение конечного либо счетного множества счетных множеств конечно либо счетно.

Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Если к бесконечному множеству А присоединить конечное либо счетное множество В, то от этого мощность множества не изменится: АВ ~ А.

3.5. Примеры счетных множеств

Множество целых чисел Z является счетным (Z ~ N).

Доказательство. Пронумеруем числа из Z:

Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство.

Любое рациональное число можно представить в виде : , mZ, nN.

Введем понятие высоты h рационального числа: h = |m| + n.

Каждой высоте соответствует конечное число рациональных чисел:

h = 1: .

h = 2: .

h = 3: .

h = 4 …

Приписывая последовательно этим рациональным числам номера 1, 2, 3… мы пронумеруем все рациональные числа. Следовательно, множество рациональных чисел счетно согласно определению.

3.6. Несчетные множества. Мощность континуума

Теорема. Мощность действительных чисел отрезка (0;1) больше чем счетное.

Доказательство (от противного).

Предположим, мощность отрезка (0;1) счетна. Т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие:

1 ~ 0.3751…

2 ~ 0.2151…

3 ~ 0.2216…

…

Построим число a из пронумерованных чисел согласно правилам:

Из первого числа возьмем первую цифру после запятой, из второго числа – вторую, из третьего – третью и так далее.

Если текущая цифра равна единице, то заменим ее на двойку. В противном случае цифру заменим на единицу.

В результате получим: a = 0.122…

a  (0;1) и числу a соответствует nN.

Это противоречит тому, что, когда мы изменили a, мы изменили цифру, стоящую на n-ном десятичном месте. Следовательно, a не может стоять на n-ном месте. Следовательно, мы пришли к противоречию и, значит, мощность множества действительных чисел несчетна.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (“континуум”). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א0 < c.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2c и называется гиперконтинуумом.

Глава 4. Аксиоматика теории множеств

4.1. Аксиомы теории множеств

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

1. Аксиома объемности. Если два множества имеют одни и те же элементы, они тождественны.

"A, B: A=B Û "c, cÎAÛ cÎB.

2. Аксиома пустого множества. Существует пустое множество , которое не содержит элементов.

$: "a, aÏ.

3. Аксиома пары. Для любых множеств A и B существует множество C такое, что A и B являются его единственными элементами. Множество C обозначается {A, B} и называется неупорядоченной парой A и B. Если A = B, то C состоит из одного элемента.

"A, "B, $C: "D, DÍCÛ(D=A Ú D=B).

4. Аксиома объединения. Для любого множества A существует множество B=a1Èa2È…Èan – объединение всех элементов множества A, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества А.

"A, $B: "C, CÍB Û $D, (CÍD Ù DÍA).

5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит ∅ в качестве своего элемента, и такое, что если а есть элемент этого множества, тогда последовательность aÈ{a} есть также элемент этого множества.

$w: Îw Ù "x, xÎw Þ {x,{x}}Îw.

6. Аксиома регулярности. Если A – непустое множество, тогда имеется подмножество В множества A, такое, что не имеется множеств, которые принадлежат обоим множествам А и В.

7. Аксиома выделения. Любому множеству A и свойству j отвечает множество B, элементами которого являются те и только те элементы A, которые обладают свойством j.

"A $B: "c, cÎB Û (cÎA Ù j(c)).

8. Аксиома основания. Каждое непустое множество S содержит подмножество A такое, что SÇA=.

"S, S¹ Þ $A, AÍS Ù AÇS=.

9. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество C такое, что, каково бы ни было множество X данного семейства, множество состоит из одного элемента.

Приведенный список аксиом не является каким-то каноническим. Возможны другие перечни и другие аксиомы.

Математики и философы, как уже было отмечено, расходятся в понимании основной цели аксиоматизации теории множеств. Многие полагают (это стало “учебной” точкой зрения), что суть аксиоматизации состоит в ограничении области множеств, с которыми математики уже имели и имеют дело, с целью недопущения парадоксов.

Аксиоматика теории множеств позволяет разрешить фундаментальную философскую проблему относительно природы математики. В аксиоматической теории множеств противоположность платонистской и конструктивистской позиций практически невидима. Если математика, как полагает платонист, мыслится как открытие