referat-web.com Бесплатно скачать - рефераты, курсовые, контрольные. Большая база работ.
Математическое моделирование
Постановка задачи и анализ исходных данных
Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.
Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х1,х2) затрат из пространства затрат.
Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;
PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2) max (х1,х2 > 0),где
p(х1,х2) - функция спроса;
f(х1,х2) - производственная функция выпуска;
с(х1,х2) - функция затрат.
Будут использоваться данные:
КАПИТАЛ | ТРУД | ВЫПУСК | ЦЕНА | ЗАТРАТЫ |
1,05 | 1,03 | 1,50 | 25,44 | 5,10 |
2,00 | 2,90 | 4,20 | 15,11 | 10,20 |
3,00 | 6,00 | 7,43 | 10,60 | 19,40 |
4,00 | 9,00 | 9,60 | 8,57 | 27,00 |
5,00 | 12,00 | 12,15 | 7,34 | 36,00 |
6,00 | 15,30 | 15,75 | 6,45 | 42,60 |
7,00 | 18,00 | 18,45 | 5,87 | 50,00 |
8,00 | 21,00 | 21,45 | 5,39 | 58,00 |
9,00 | 24,00 | 24,30 | 5,00 | 66,00 |
10,00 | 27,00 | 26,85 | 4,67 | 74,00 |
11,00 | 30,00 | 30,15 | 4,40 | 82,00 |
12,00 | 33,00 | 33,00 | 4,17 | 90,00 |
13,00 | 36,00 | 36,75 | 3,97 | 99,00 |
14,00 | 39,00 | 41,28 | 3,79 | 107,00 |
15,00 | 42,00 | 42,30 | 3,63 | 120,00 |
Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.
Независимые переменные: капитал (х1) и труд (х2), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.
Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.
Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии. | ||||||||
Функция спроса - функция цены выпускаемой продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов. | ||||||||
КАПИТАЛ | ТРУД | ЦЕНА | LN x1 | LN x2 | LN y | |||
1,05 | 1,03 | 25,44 | 0,05 | 0,03 | 3,24 | |||
2,00 | 2,90 | 15,11 | 0,69 | 1,06 | 2,72 | |||
3,00 | 6,00 | 10,60 | 1,10 | 1,79 | 2,36 | |||
4,00 | 9,00 | 8,57 | 1,39 | 2,20 | 2,15 | |||
5,00 | 12,00 | 7,34 | 1,61 | 2,48 | 1,99 | |||
6,00 | 15,30 | 6,45 | 1,79 | 2,73 | 1,86 | |||
7,00 | 18,00 | 5,87 | 1,95 | 2,89 | 1,77 | |||
8,00 | 21,00 | 5,39 | 2,08 | 3,04 | 1,68 | |||
9,00 | 24,00 | 5,00 | 2,20 | 3,18 | 1,61 | |||
10,00 | 27,00 | 4,67 | 2,30 | 3,30 | 1,54 | |||
11,00 | 30,00 | 4,40 | 2,40 | 3,40 | 1,48 | |||
12,00 | 33,00 | 4,17 | 2,48 | 3,50 | 1,43 | |||
13,00 | 36,00 | 3,97 | 2,56 | 3,58 | 1,38 | |||
14,00 | 39,00 | 3,79 | 2,64 | 3,66 | 1,33 | |||
15,00 | 42,00 | 3,63 | 2,71 | 3,74 | 1,29 | |||
12,62 | -38,59 | 50,48 | -0,36 | -0,23 | 3,26 | 26,00 | ||
3,19 | 9,51 | 8,90 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 1,00 | ||
0,83 | 2,60 | #Н/Д | 1,00 | 0,00 | #Н/Д | |||
29,14 | 12,00 | #Н/Д | 8736032,75 | 12,00 | #Н/Д | |||
393,61 | 81,06 | #Н/Д | 4,35 | 0,00 | #Н/Д | |||
значение распределения Стьюдента | значение распределения Стьюдента | |||||||
3,95 | -4,06 | 5,67 | -280,59 | -132,26 | 7866,80 | 25,99 | ||
Критическое значение Стьюдента | критич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр | |||||||
2,18 | 2,18 | |||||||
Достоверен | достоверен | достоверен | достоверен | достоверен | достоверен | |||
Критическое распределение Фишера | критическое распределение Фишера | |||||||
0,00002 | 1,04959E-37 | |||||||
29,14>0,00002 | 8736032,75>1,04959Е-37 | |||||||
R2-достоверен | R2-достоверен | |||||||
Выбираем степенную ф-ю т.к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14). | ||||||||
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2 | Параметры: | b0 | b1 | b2 | ||||
26,00 | -0,23 | -0,36 | ||||||
Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии. | |||||||
Функция затрат - функция от двух переменных - факторов производства - капитала и труда. | |||||||
КАПИТАЛ | ТРУД | ЗАТРАТЫ | |||||
1,05 | 1,03 | 5,10 | |||||
2,00 | 2,90 | 10,20 | |||||
3,00 | 6,00 | 19,40 | |||||
4,00 | 9,00 | 27,00 | |||||
5,00 | 12,00 | 36,00 | |||||
6,00 | 15,30 | 42,60 | |||||
7,00 | 18,00 | 50,00 | |||||
8,00 | 21,00 | 58,00 | |||||
9,00 | 24,00 | 66,00 | |||||
10,00 | 27,00 | 74,00 | |||||
11,00 | 30,00 | 82,00 | |||||
12,00 | 33,00 | 90,00 | |||||
13,00 | 36,00 | 99,00 | |||||
14,00 | 39,00 | 107,00 | |||||
15,00 | 42,00 | 120,00 | |||||
1,96 | 2,21 | 0,00 | |||||
0,30 | 0,82 | #Н/Д | |||||
1,00 | 1,54 | #Н/Д | |||||
3818,56 | 13,00 | #Н/Д | |||||
18116,82 | 30,84 | #Н/Д | |||||
значение распределения Стьюдента | |||||||
6,54 | 2,70 | #Н/Д | |||||
критическое значение Стьюдента | |||||||
2,16 | |||||||
достоверен | достоверен | ||||||
критическое распределение Фишера | |||||||
9,92626E-19 | |||||||
3818,56>9,92626Е-19 | |||||||
R2-достоверен | |||||||
Функция затрат имеет вид линейной функции. | c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2 | ||||||
Параметры: | c1 | c2 | |||||
2,21 | 1,96 | ||||||
Оптимизация | ||||||||
Общая постановка задачи: | ||||||||
Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат ,мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением. | ||||||||
a0 | 1,54 | b0 | 26,00 | КАПИТАЛ | ТРУД | f(x1,x2)=F | ||
a1 | 0,43 | b1 | -0,23 | c1 | 2,21 | 1,05 | 1,03 | 1,60 |
a2 | 0,57 | b2 | -0,36 | c2 | 1,96 | 2,00 | 2,90 | 3,81 |
3,00 | 6,00 | 6,86 | ||||||
PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2) | прибыль (1) | 4,00 | 9,00 | 9,78 | ||||
Найденные уравнения регрессии: | 5,00 | 12,00 | 12,68 | |||||
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2 | ф-я спроса (5) | 6,00 | 15,30 | 15,75 | ||||
f(x1,x2)=F=a0*x1a1*x2a2 | произв. ф-я (6) | 7,00 | 18,00 | 18,47 | ||||
c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2 | ф-я затрат (7) | 8,00 | 21,00 | 21,36 | ||||
из этого следует, что | 9,00 | 24,00 | 24,24 | |||||
PR=a0*b0*x1(a1+b1)*x2(a2+b2)-c1x1-c2x2 | 10,00 | 27,00 | 27,13 | |||||
далее решим систему уравнений | 11,00 | 30,00 | 30,01 | |||||
qPR/qx1=0 | (2) | 12,00 | 33,00 | 32,89 | ||||
qPR/qx2=0 | 13,00 | 36,00 | 35,78 | |||||
14,00 | 39,00 | 38,66 | ||||||
Решение : | 15,00 | 42,00 | 41,54 | |||||
a0*b0*(а1+в1)*x1(a1+b1-1)*x2(a2+b2)-c1=0 | ||||||||
a0*b0*x1(a1+b1)*(а2+в2)*x2(a2+b2-1)-c2=0 | ||||||||
При упрощении выражения получается уравнение вида: | ||||||||
x2/x1=(c1*(a2+b2))/(c2(a1+b1)) | ||||||||
Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К: | ||||||||
x2/x1=K | К= | 1,18 | ||||||
Cледовательно: | ||||||||
x2/x1=1,18 | х1=х2/1,18 , х2=х1*1,18 | |||||||
Выразив х1 через х2 и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х1опт и х2опт | ||||||||
x1o= | 9,48 | |||||||
x2o= | 11,20 | |||||||
Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ): | ||||||||
q2PR(x1,x2)/qx12<0 | для оптимальных значений х1,х2 | ( 3 ) | ||||||
Подставив свои значения получаю формулу: | ||||||||
а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)<0 | -0,19 | <0 | ||||||
(q2PR(x1,x2)/qx12)*(q2PR(x1,x2)/qx22)-(q2PR(x1,x2)/qx1х2)2>0 | ( 4 ) | |||||||
Представим формулу в виде: | А*В-D2>0 | |||||||
А=а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2) | ||||||||
В=а0*в0*(а2+в2)*(а2+в2-1)*х1(а1+в1)*х2(а2+в2-2) | ||||||||
D=а0*в0*(а1+в1)*(а2+в2)*х1(а1+в1-1)*х2(а2+в2-1) | ||||||||
Найдем значения А,В и D: | ||||||||
А = | -0,19 | |||||||
B = | -0,14 | |||||||
D = | 0,04 | |||||||
Подставим эти значения в формулу: | 0,024 | >0 | ||||||
Вывод: | Найденные значения х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы уравнений . | |||||||
При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1) и максимум выпуска (5) | 61,37 | |||||||
6,50 | ||||||||
График прибыли от двух переменных | ||||||||
PR=f(х1,х2) | ||||||||
Построение графиков изоквант и изокост. | ||||||||
Капитал | Труд | Изокванта | Изоклиналь | Изокоста | Параметры | |||
1,05 | 1,03 | 58,90 | 1,24 | 20,71 | ||||
2,00 | 2,90 | 36,23 | 2,36 | 19,63 | а0 | 1,54 | ||
3,00 | 6,00 | 26,68 | 3,54 | 18,51 | а1 | 0,43 | ||
4,00 | 9,00 | 21,47 | 4,73 | 17,38 | а2 | 0,57 | ||
5,00 | 12,00 | 18,15 | 5,91 | 16,25 | с1 | 2,21 | ||
6,00 | 15,30 | 15,82 | 7,09 | 15,12 | с2 | 1,96 | ||
7,00 | 18,00 | 14,08 | 8,27 | 14,00 | yо | 16,05 | ||
8,00 | 21,00 | 12,73 | 9,45 | 12,87 | ||||
9,00 | 24,00 | 11,65 | 10,63 | 11,74 | g опт | 0,89 | ||
10,00 | 27,00 | 10,76 | 11,81 | 10,61 | ||||
11,00 | 30,00 | 10,01 | 13,00 | 9,49 | с0 | 42,90 | ||
12,00 | 33,00 | 9,38 | 14,18 | 8,36 | ||||
13,00 | 36,00 | 8,83 | 15,36 | 7,23 | х1опт | 9,48 | ||
14,00 | 39,00 | 8,35 | 16,54 | 6,10 | х2 опт | 11,20 | ||
15,00 | 42,00 | 7,92 | 17,72 | 4,98 | в0 | 26,00 | ||
в1 | -0,23 | |||||||
в2 | -0,36 | |||||||
Для построения графиков используются расчеты по следующим формулам: | ||||||||
Изокванта | х2(х1)=(у0/(а0*х1a1)^(1/a2) | |||||||
Изоклиналь | x2(x1)=gопт.*(a2/a1)*x1 | |||||||
Изокоста | x2(x1)=(c0-c1*x1)/c2 | |||||||
а также: | ||||||||
Оптимальный выпуск | ||||||||