Скачать

Бернулли

В то время как большинство западноевропейских стран были заняты внутренними феодальными междоусобицами и внешними войнами, Нидерланды уже прошли немалый путь капиталистического развития. Иностранцев поражало в Нидерландах цветущее состояние городов, отсутствие феодальных форм отношений между различными слоями населения, высокий уровень жизни, расцвет науки и культуры. Эта сравнительно небольшая страна давала казне львиную долю доходов. Годовой сбор налогов, например, достигал двух миллионов флоринов, в то время как вся Испания давала один миллион. Карл V называл Нидерланды жемчужиной своей короны.

Протестантство появилось в Нидерландах вскоре после известного выступления Лютера 1517 г., направленною против продажи индульгенций. Борьба против испанского ига переплелась с борьбой за свободу вероисповедания. Народное движение приняло религиозную окраску и разливалось шире и шире по стране.

В 1550 г. Карл V издал указ против еретиков, поставивший фактически всех протестантов вне закона и объявивший неограниченный террор на всей территории Нидерландов.

Пришел конец элементарной законности. С безграничным цинизмом без суда уничтожались целые семьи, и даже роды. Вместе с казнями состоятельных граждан отторгалось принадлежавшее им имущество, изымались деньги и ценности. Началась эмиграция. Она достигла таких размеров, что многие местечки обезлюдели, а в городах численность населения заметно уменьшилась.

Купеческая протестантская семья Бернулли жила в Антверпене. Свой род она вела из Фландрии, где Бернулли, в XV в. носившие еще фамилию Бернуйла (Bernuilla), не избегали и военных дел. Семья держалась насиженного места, пока можно было рассчитывать на то, что все как-то устроится. Надежды связывались с успехами освободительного движения: несмотря на зверства Альбы, северные провинции Нидерландов, объединенные вокруг Вильгельма Оранского, вынудили Филиппа признать их право на самоопределение. По договору 1579 г. семь северных провинций, образовавших ядро будущей Голландии, освобождались от испанского владычества. Однако остальные провинции—и город Антверпен, в том числе — оставались под испанской короной.

Тем самым все надежды рушились. Под угрозой физического уничтожения приходилось покидать родной город. Большинство эмигрантов направлялось в прирейнские провинции Германии, потому что еще при жизни Карла V Германия добилась свободы вероисповедания (Аугсбургский мир 1555 г.). Казалось, волнения там улеглись и можно будет отдохнуть от десятилетий террора. Семья Бернулли решает ехать во Франкфурт-на-Майне. Реформация в этом городе прошла еще в 1533 г., господствующая религия—протестантская. Выбор кажется удачным. В 1582 г. семья трогается в путь. Нелегко было порывать с родными местами. Глава семьи, Якоб Бернулли, скончался во Франкфурте в следующем же году.

Расчеты эмигрантов на то, что удастся обосноваться на новом месте, не оправдались: и в Германии вражда между католиками и протестантами не угасала. С начала XVII в. атмосфера непрерывно сгущалась; в 1618 г. началась Тридцатилетняя война, принесшая с собой неслыханные бедствия и расстройство хозяйственных связей. Решено было искать спокойного пристанища. Выбор остановился на Швейцарии, а именно на Базеле. Положение в Швейцарии казалось относительно спокойным: реформация там утвердилась в 20-е годы XVI столетия, религиозные волнения за протекшие сто лет улеглись. В 1622 г. другой Якоб, внук первого Якоба, переехал в Базель и принял гражданство Базельской республики. На этот раз эмиграция завершается удачно. Сын Якоба Николай уже видное лицо в городе, пользующийся уважением купец, глава семьи, состоящей из одиннадцати детей. Среди его детей и находятся те, с кого начинается династия выдающихся математиков.

Чем вызвано переселение Бернулли именно в Базель, трудно сказать. Единственно, что можно утверждать с полной уверенностью, это то, что наличие в городе университета не играло в выборе никакой роли: семья Бернулли из поколения в поколение старалась отвлечь свою молодежь от науки и обратить ее дарования на коммерческую деятельность или адвокатуру. К счастью, молодежь сама выбирала свои пути, не очень считаясь с желаниями старших.

Среди Бернулли некоторые имена повторяются из поколения в поколение, поэтому их различают, как королей, присоединив к имени соответствующую цифру. Вот родословная Бернулли:

Якоб (1598-1634). Уроженец Франкфурта-на-Майно. В 1622 г. переехал на постоянное жительство в Базель.

Николай (1623-1708). Сын Якоба. Уроженец Базеля. Торговец аптекарскими товарами и лекарственными травами. Член Большого совета Базеля и член суда. Имел 11 детей.

Якоб I (1654-1705). Сын Николая. По образованию богослов. С 1687 г. профессор математики Базельского университета. Учениками Якоба I были: его младший брат Иоганн I, племянник Николай I, член Петербургской академии наук, механик и математик Я. Герман, отец великого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.

Николай (1662-1716). Брат Якоба I. Живописец. Член суда.

Иоганн I (1667-1748). Брат Якоба I. Десятый ребенок в семье Николая. По образованию врач. С 1695 г. профессор математики Гронингенского университета (Голландия). С 1705 г. профессор математики Базельского университета. Почетный член Петербургской академии наук.

Жером (1669-1760). Брат Иоганна I. Торговец аптекарскими товарами.

Николай. Единственный сын Якоба I, имевшего еще дочь. Вопреки желанию отца, уклонился от научной карьеры и стал живописцем. По словам современников, весьма посредственным.

Николай I (1687-1759). Сын Николая. По образованию юрист. Профессор математики в Падуе, профессор логики и права в Базеле.

Николай II (1695-1726), сын Иоганна I. По образованию юрист. Профессор права в Берне, профессор математики в Петербурге.

Даниил I (1700-1782). Уроженец Гронингена. Сын Иоганна I. По образованию врач. В 1725-1733 гг. работал на кафедрах физиологии и механики в Петербургской академии наук. С 1733 г. профессор по кафедре физиологии, с 1750 г. профессор по кафедре механики в Базеле. Почетный член Петербургской академии наук.

Иоганн II (1710-1790), Сын Иоганна I. По образованию юрист. Профессор элоквенции (красноречия), профессор математики в Базеле.

Иоганн III (1744-1807). Старший сын Иоганна II. По образованию юрист. Астроном Берлинской академии наук, там же директор математического класса.

Даниил II (1751-1834). Второй сын Иоганна II. По образованию врач, профессор красноречия в Базеле.

Якоб II (1759-1789). Третий сын Иоганна II. По образованию юрист. Математик Петербургской академии наук. Утонул в Неве.

Кристоф (1782-1863). Сын Даниила II. Профессор технологии в Базеле.

Иоганн-Густав (1811-1863). Сын Кристофа. Профессор технологии в Базеле.

Представители рода Бернулли живут в Базеле и в настоящее время.

Якоб (1598-1634)

Николай (1623-1708)

Якоб I (1654-1705) Жером(1669-1760)

Николай(1662-1716) Иоганн I (1667-1748)

Николай

Николай I (1687-1759)

Николай II (1695-1726) Даниил I (1700-1782)

Иоганн II (1710-1790)

Якоб II (1759-1789) Иоганн III (1744-1807) Даниил II(1751-1834)

Кристоф(1782-1863)

Иоганн-Густав(1811-1863)

Якоб I. Родился 27 декабря 1654 г. По желанию отца готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками. Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671 г. получил степень магистра философии. С большим успехом читал проповеди на немецком и французском языках. В то же время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учебников.

В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики в Базельском университете. Успехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат университета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г. Вряд ли присутствовавшие при этом скромном акте представляли, что они являются свидетелями начала беспримерного в истории математики события: отныне кафедру будут занимать Бернулли на протяжении ста лет. Члены же этой семьи будут профессорами родного университета в течение четверти тысячелетия, вплоть до второй половины XX в.

В том же году Якоб Бернулли прочитал в «Асtа Eruditirum» за 1684 г. «Новый метод» Лейбница и, обнаружив трудные места, письменно обратился к Лейбницу за разъяснением. Лейбниц, находившийся в длительной служебной поездке, получил письмо только через три года, когда надобность в консультации отпала: Якоб совместно Иоганном овладели дифференциальным и интегральным исчислениями настолько, что вскоре смогли приступить систематическому развитию метода. Образовавшийся триумвират — Лейбниц, Якоб и Иоганн Бернулли — менее чем за двадцать лет чрезвычайно обогатил анализ бесконечно малых.

С 1677 г. Я. Бернулли стал вести записные книжки, куда вносил различного рода заметки научного содержания. Первые записи посвящены теологии, сделаны под влиянием распространенного в то время в Базеле сборника спорных теологических вопросов.

Основное место в записных книжках занимает решение задач. Уже по ранним записям можно судить о проявленном Я. Бернулли интересе к прикладной математике. Математические заметки показывают, как постепенно Я. Бернулли овладевал методами Валлиса, Декарта, инфинитезимальными методами, как развивал и совершенствовал их. Решенные им задачи служили отправными пунктами для дальнейших более глубоких исследований.

В январе 1684 г. Я. Бернулли провел в Базельском университете открытый диспут, на котором защищал 100 тезисов, из них 34 логических, 18 диалектических и 48 смешанных. Некоторые тезисы крайне любопытны. Вот примеры:

«78. Иногда существует несколько кратчайших путей из точки в точку.

83. .Среди изопериметрических фигур одна может быть в бесконечное число раз больше другой.

85. Не в каждом треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым.

89. Квадратура круга еще не найдена, но не потому, что между искривленным и прямолинейным нет никакой связи; в действительности кривую можно спрямить, а криволинейную фигуру квадрировать»

В мае 1690 г. Я. Бернулли опубликовал в «Асtа Eruditirum» первую работу, связанную с исчислением бесконечно малых. В ней он дал решение поставленной Лейбницем в 1687 г. задачи о парацентрической изохроне. Необходимо было найти кривую, по которой материальная точка опускалась бы в равные промежутки времени на равные высоты. Я. Бернулли вывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом он впервые употребил в печати термин «интеграл», указав, что из равенства двух выражений, связывающих дифференциалы, следует равенство интегралов.

В лекциях, читанных Лопиталю, И. Бернулли ход решения излагает так. Пусть искомой кривой будет АDС. Материальная точка за время ∆t перемещается из точки D в точку d и из точки С в точку с. По условию задачи проекции дуг Dd Сс на вертикаль одинаковы. Проведем через D и С касательные к кривой до пересечения с продолжением АF. Отрезки касательных будут DK и CL. Напишем тождество

Dd/Сс=Dd/Hc • Hc/Cc.

Дуги Dd и Сс малы, поэтому фигуры GDd и НСс можно считать треугольниками.

Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и СFL получим

Dd/DG=DK/DE,Сс/Нс=CL/СF.

С помощью этих пропорций найдем

Dd/Сс=DG1Нс • DК/DЕ • СF/СL.

По условиям задачи dG/Нс=1, поэтому

Dd1Сс=DК/DЕ • СF/СL.

Проведем через точку С прямую СМ, параллельную DК. Тогда

DК/DЕ=СМ/СF, Dd/Сс=СМ/СL.

Но отношение Dd/Сс равно отношению скоростей (интервал ∆t один и тот же), квадраты же скоростей, по найденному Галилеем закону, относятся как пройденные высоты; это дает

Dd2/Сс2=СМ2/СL2=DЕ/CF, СМ2/СL2 =DЕ/СF.

Последнее равенство означает, что если через две произвольные точки кривой провести касательные СL и DК и через точку С провести СМ параллельно DК, то должна выполняться указанная пропорция. Таким свойством обладает искомая кривая.

Задача оказалась сведенной к классу обратных задач на касательные: найти кривую, касательные к которой удовлетворяют некоторому требованию. Подобную задачу впервые предложил Декарту Дебон, и Декарт с ней не справился. Разработанный Лейбницем метод позволяет решать и обратные задачи на касательные.

Выберем начало координат в точке А. Обозначим АЕ=х, ЕD=у. Тогда GD=dх, Gd=dу. Обозначим также СF=а, СL=b. Треугольники FСМ и СdD подобны, отсюда

Gd/Dd=FС/СМ.

Но Dd = √dx2+dy2, поэтому

dy/√ dx2+dy2= а/СМ, откуда

CM2= (a2dx2+a2dy2)/dy2.

Подставим найденное выражение в пропорцию СL2/СM2=СF/СЕ и получим дифференциальное уравнение

b2dy2/(a2dx2+a2dy2)=a/y, b2ydy2-a3dy2=a3dx2, (b2y-а3)dу2 = а3dx2,

√b2y-a3 dy=√a3 dx.

В уравнении переменные разделены, интегрирование его дает искомую кривую

2b2у — 2а3/3b2 √b2у - а3 == х√а3.

Парацентрическая изохрона оказалась полукубической параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определили Лейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернулли дал решение средствами анализа бесконечно малых.

В приложении к другой работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.

1. Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х).

3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, например ау2=х{а2—х2),

4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.

Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древнейшая из них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?

Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур. Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим будет шар.

Решение задачи содержится в записных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанный ранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.

К. А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиально новый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать более сложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решения вариационных задач».

При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Sm = å km

Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука зал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(п) до S(п10):

S (n) = n2/2 +n/2

S (n2) = n3/3 + n2/2+ n/6

S (n3) = n4/4 + n3/2 + n2/4

S (n4) = n5/5 + n4/2 + n3/3 – n/30

S (n5) = n6/6 + n5/2 + 5n4/12 - n2/12

S (n6) = n7/7 + n6/2 + n5/2 - n3/6 + n/42

S (n7) = n8/8 + n7/2 + 7n6/12 - 7n4/24 + n2/12

S (n8) = n9/9 + n8/2 + 2n7/3 - 7n5/15 + 2n3/9 – n/30

S (n9) = n10/10 + n9/2 + 3n8/4 - 7n6/10 + n4/2 - n2/12

S (n10) = n11/11 + n10/2 + 5n9/9 – n7 + n5 - n3/2 + 5n/66

Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(nc) = nc+1/c+1 + 1/2*nc + 1/2*( )Anc-1 + 1/4*( )Bnc-3 + 1/6*( )Cnc-5 + 1/8*( )Dnc-7+ …

Здесь ( ), ( ) … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n2. Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n2), S(n4), S(n6), … Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30, …Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n2), S(n3), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.

Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

II

Роль И. Бернулли как одного из создателей, распространителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа отражает современная терминология: название «интегральное исчисление» (от латинского integer — целый, откуда и старинное русское «целственный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впоследствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S— первую букву латинского слова summa.

И. Бернулли занимался приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд интеграла от функции n(z) по степеням аргумента:

∫ n(z)dz = nz – z2/2 * dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 – z4/24 * d3n/dz3 + …

В “Acta Eruditorium” за 1697 г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское семейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимся по определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможность применения полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о траекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных траекторий назвал полукубические параболы y3 = ax2.

Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишь тогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированием рациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмах отрицательных чисел.

В письмах Лейбницу 1702 г. И. Бернулли заметил, что рациональные дроби должны интегрироваться в рациональных, логарифмических и круговых функциях.

Представляет особый интерес работа «Решение одной задачи интегрального исчисления», напечатанная в ”Memoires” Парижской академии наук за 1702 г. (1704) и в “Acta Eruditorium” за 1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различных корней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовые формулы, показал, как получать коэффициенты, вначале полагаемые неопределенными. Здесь же И. Бернулли заметил следующее важное качество. Подобно тому как дифференциал dz/(1-z2) с помощью подстановки z = (t-1)/(t+1) переходит в логарифмический дифференциал dt/2t, так и дифференциал действительного кругового сектора dz/(1 + z2) с помощью мнимой подстановки z = √-1(t-1)/(t+1) переходит в «мнимый дифференциал» -dt/2√-1t. Кроме того, очевидно, что dz/(1+z2) = 0,5dz/1 + z√-1 + 0,5dz/1 - z√-1

т. е. дифференциал действительного кругового сектора равен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. Отсюда И. Бернулли сделал вывод, что мнимые логарифмы заменяют действительные круговые секторы.

Соотношением dz/(1+z2) = -dt/2√-1t по существу была установлена связь между функциями Arctg(z) и Ln t = ln (1 - z√-1)/(1 + z√-1). Но эту связь И. Бернулли не получил, так как не стал интегрировать уравнение, а выполнил еще одну подстановку

t = (√-1 + √1/r – 1)/(√-1 - √1/r – 1), что дало выражение дифференциала арксинуса действительного аргумента через дифференциал мнимого логарифма.

Работа И. Бернулли, опубликованная в “Acta Eruditorium” за 1712 г., содержала продолжение того же исследования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональную дробь с мнимым аргументом. Он решил дифференциальное уравнение

ndx/(x2 + 1) = dy/(y2 + 1), предварительно разложив дроби по указанному способу, и получил (x - √-1)n(y + √-1) = (x + √-1)n(y - √-1).

Продвижению вперед в применении мнимых чисел к анализу препятствовали неясности, связанные с понятием логарифма. Свидетельство этому — развернувшаяся между Лейбницем и И. Бернулли дискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел.

В 1712 г. Лейбниц выступил со статьей, где, обсуждая парадокс Арно 1/-1 = -1/1, сказал, что отрицательным отношениям не соответствуют никакие логарифмы, поскольку положительным логарифмам соответствуют числа больше единицы, а отрицательным — правильные положительные дроби. Поэтому логарифм числа —1 не будет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм был действительным, то его половина стала бы также действительной, т. е. действительным был бы логарифм мнимого числа √-1 а это неверно.

И. Бернулли возражал Лейбницу; он считал, что логарифмы отрицательных чисел действительны, и полагал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Он основывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/х следует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg (-x) = lg х. Приводились и другие аргументы.

Перечислим некоторые частные результаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n a и cos n a по произведениям степеней sin n a и cos n a. Он первый обнаружил и доказал расходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу

1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/3*4 1/4*5...

…………………………….

Просуммируем по строкам; найдем

S1 = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ - 1/3 + 1/3 – ¼ + … = 1,

S2 = ½ - 1/3 + 1/3 - ¼ +... = 1/2

S3 = 1/3 – ¼ + ¼ - 1/5 + … = 1/3

…………………………………….

Обозначим сумму строк буквой S:

S=S1+S2+S3+…=1 + ½ + 1/3 + ...

Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; получим

s1=1/2, s2=1/3, s3=1/4, …; s1+s2+s3 + … =1/2+1/3+1/4+ ... = S-1

Получается парадокс: S=S—1. Все объясняется просто: мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющим суммы.

Продолжим разговор о достижениях И. Бернулли. Он вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кривизны в дифференциалах абсциссы и ординаты, которая опубликована в «Анализе бесконечно малых» Лопиталя. И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эвольвент, каустик, касательных, точек перегиба, огибающих, кривизны. Он открыл точку возврата второго рода, описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие квадратуры, спрямления, кубатуры, в качестве приложения методов анализа решил мною геометрических и механических задач, в том числе задачу о парацентрической изохроне.

К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего через десять лет после появления основополагающего труда Лейбница, усилиями Лейбница и братьев Бернулли идеи дифференциального и интегрального исчислений достигли такого развития, что появились суждения о завершении анализа в ближайшем будущем. Назрела необходимость собрать воедино и систематизировать разработанные методы с тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий круг людей. Эту задачу блестяще выполнил И. Бернулли, написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислению дифференциалов» и «Математические лекции о методе интегралов и других вопросах, написанные для маркиза Лопиталя».

Завершение лекций дало возможность писать И. Бернулли в автобиографической заметке, что он «был первым, кто подумал об изобретении метода для перехода от бесконечно малых количеств к конечным, элементами которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот метод интегральным исчислением, не найдя более подходящего слова».

Хотя И. Бернулли лекции и не издал, они были доступны французским математикам и сыграли важную роль в прогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых».

Лекции И. Бернулли, «Анализ» Лопиталя содержали небольшой набор основных аналитических понятий, иллюстрируемых чертежами, теорем и правил и множество задач геометрического, механического и физического характера.

Лекции по дифференциальному исчислению начинаются следующими постулатами:

«1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно меньшую величину, не уменьшается, не увеличивается.

2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм».

Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из предыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х2 или ½*x2 плюс или минус постоянная, x2dx — дифференциал 1/3*x3 плюс или минус постоянная... также аdх — дифференциал ах и т. д., axdx – дифференциал ½*ax2 ах3dx— дифференциал ¼*ax4 и т. д.” После этого дается общее правило: «ахp есть дифференциал количества axp+1/(p+1). Иными словами: ∫хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли применяет это правило к случаю P=-1 и получает ∫ dx/x = ∞. Однако впоследствии он исправляет ошибку.

Затем рассматриваются некоторые вариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренного выражения, и т. д.

Вторая лекция посвящена вычислению площадей. И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница и писал: « Площади рассматривают как разложенные на части, каждую из которых можно считать дифференциалом площади. Если имеют интеграл этого дифференциала, т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и искомая квадратура».

После обсуждения различных способов разбиения фигуры И. Бернулли делает заключение: когда частичные площадки ограничены ординатами и кривой, дифференциал каждой из них будет уdх. Если кривая задается, то у выражается через х вполне определенно, и уdх будет «полностью выражаться через х». Он приводит пример: дана парабола у2=ах; дифференциал площади будет √ах dх, его интеграл 2/3х√ах, или 2/3xу. С необычайной простотой И. Бернулли нашел результат, считающийся важнейшим достижением геометрии древних, состоящий в том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади соответствующего прямоугольника ху.

Содержание следующих лекций весьма разнообразно: квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», соприкасающиеся кривые и эволюты, каустики; завершают книгу пять лекций, посвященных решению физико-механических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первых задач механики нити. Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания, высочайшее методическое мастерство. Все в них все как у опытного лектора, хотя ему было всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых до него не читал никто.

Мало займет места изложение широко известного правила Лопиталя, но следует его выделить среди общего рассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля 1694 г. И. Бернулли ответил Лопиталю на вопрос о том, как следует поступать, когда необходимо найти значение неопределенности вида О/О. И сообщил геометрическое доказательство высказанному правилу. Оно вошло в учебник Лопиталя «Анализ бесконечно малых».

Лопиталь формулирует задачу так: «.Пусть величина ординаты у кривой АМD (АР=х, РМ=у, АВ=а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при х=а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при атом величина ординаты ВD».

Решение задачи выглядит так. На общей «оси» строятся кривые АNВ и СОВ, причем ордината РN входит в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ, так что РМ=АМ•РN/РО.

Обе кривые пересекаются в точке В, поскольку, по предположению,

величины РN и РО обращаются в нуль, когда точка Р совпадает с В. Затем вводится ордината bd, близкая к ВD и пересекающая кривые в точках f и g. Для нее будет Bd=AB*bf/bg, что не отличается от ВD в силу одного из основных допущений, выдвинутых автором, о том, что если имеются две величины, отличающиеся друг от друга на бесконечно малую, то можно брать одну из них вместо другой. Следовательно, необходимо найти отношение bg к bf.

Когда АР обращается в АВ, обе ординаты РN и РО обращаются в нуль, «а когда АР обращается в Аb, ординаты обращаются в bf и bg». Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для нахождения искомого значения bd иди ВD нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а=Аb или АВ, «что и требовалось найти»,— заключает Лопиталь.

В следующем параграфе правило применяется к нахождению предельного значения

y = (√2a3x – x4 - a√a2x)/(a - √ax3) при х=а.

Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а. Получим число 16а/9 «для искомой величины ВD».

В августе 1704 г., вскоре после смерти Лопиталя, И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в «Анализе» методы. Это была заметка «Усовершенствование моего опубликованного в “Analyse des infiniment petits” § 163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают». Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример, помещенный в § 164, который французские математики и Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернулли, «движимый любовью к истине», отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.

Одновременно с развитием дифференциального и интегрального исчислений шла разработка методов решения дифференциальных уравнений. В интегрировании уравнений первого порядка были достигнуты значительные успехи. В «Математических лекциях о методе интегралов и о других вопросах, написанных для маркиза Лопиталя» решено однородное уравнение dy/dx=f(y/x) подстановкой у=хt. Там же изложен метод приведения к однородному уравнения dy/dx=f((ax+by+c/(a1x + b1y + c1)) подстановками x = ξ + h, у = η +h; при этом не упомянут случай ab1-a1b=0. В «Лекциях» И. Бернулли применил интегрирующий множитель к уравнению ахdу—уdх=0. Он умножил члены уравнения на уa-1/x2 и получил d(ya/x;)=0, откуда уa=bх. Непосредственное разделение переменных в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как считал, что в соответствии с формулой ∫хndх=хп+1/(n+1) будет ∫dx/x=∞. (Как известно, впоследствии он выражал этот интеграл через ln x.)

В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=р(х)у+q(х)уn сводится заменой у1-n=z к линейному. Из письма Лейбницу в том же году следует, что И. Бернулли проинтегрировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель xk для последовательного понижения порядка уравнения Эйлера

а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0.

Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны.

Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка» содержит идею метода изоклин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С) дифференциального уравнения первого порядка у'=f(х; у) на плоскости соответствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у', т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего решения уравнения состоит в отыскании кривых, для которых направления касательных совпадают с направлениями поля.

III

Третий гениальный представитель рода Бернулли, Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место. Особенность эта объясняется, во-первых, разносторонностью его научных интересов и значительностью полученных им результатов практически во всех областях точного естествознания своего времени, во-вторых, прикладной направленностью исследований. В книгах, в какой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бернулли называют по-разному: физиологом, астрономом, физиком, математиком, механиком, гидродинамиком. И не без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бернулли, Ж. Д’Аламбером, Ж. Лагранжем и другими выдающимися математиками и механиками XVIII в. создавал основы классической науки.

В очерке о роде Бернулли говорилось, что в 1723 г. Д. Бернулли отправился в Венецию для занятия медициной под руководством итальянского врача П. А. Микелотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции была опубликована «физико-механико-медицинская» диссертация Микелотти «О разделении жидкостей в теле животного», в которой рассматривались вопросы гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном переплете со вторым изданием медицинской диссертации И. Бернулли «О движении мускулов», что свидетельствовало о научном авторитете Бернулли среди итальянских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бернулли в Венеции.

С помощью «одного знатного венецианца» Д. Бернулли в 1724 г. издал «Математические упражнения» («Даниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения»), направленные в защиту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной деятельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые результаты были опубликованы в «Acta Eruditorium» и стали достоянием более широкого круга ученых.

«Математические упражнения» состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) — приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в «Acta Eruditorium»; это служит свидетельством того, что автор был в курсе новейших открытий. Наиболее значима часть книги, посвященная исследованию дифференциального уравнения Риккати.

Развитие математики в первой половине XVIII в. характеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотрением различных классов функций наблюдалось дальнейшее исследование дифференциальных уравнений и применение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегрировались как в конечном виде, так и с помощью рядов.

Ко времени опубликования «Математических упражнений» в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были найдены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.

y'=f(х; у), в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид у'+Р(х)у=Q(х).

Метод решения таких уравнений, когда функция у отыскивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и также Лейбницем. Уравнение вида

y'+Р(х)у=Q(х)уп предложил Я. Бернулли. Оно в 1696—1697 гг. было решено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y1-n=z

К некоторым уравнениям применялся также интегрирующий множитель. Я. Бернулли предложил прием понижения порядка к уравнению второго порядка, не содержащему явно одной из переменных, заменой y'=p. Работа Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.

В 1694 г. в «Асtа Eruditorium» И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: «Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х2dх + у2dх = d2у». После этой публикации уравнением y’=у2+х2

заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 1697—1704 гг. «Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у2dх+х2dх,— писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г.— Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ус