Скачать

Единая теория поля

Единая теория поля -это физическая теория, задачей которой является единое описание всех элементарных частиц (или хотя бы группы частиц), выведение свойств этих частиц, законов их движения, их взаимных превращений из неких универсальных законов, описывающих единую "первоматерию", различные состояния которой и соответствуют различным частицам.

Первым примером Единой теории поля была попытка Х. А. Лоренца объяснить всю инерцию электрона (т. е. вывести значение его массы) на основе классической электродинамики. Сам электрон выступал при этом в роли "сгустка" электромагнитного поля, так что управляющие его движением законы в конечном итоге должны были сводиться к законам, описывающим это поле. Последовательное проведение этой программы оказалось невозможным, но сама попытка "примирить" дискретное (электрон рассматривался как материальная точка) и непрерывное (электромагнитное поле), попытка единого описания разных фундаментальных видов материи возобновлялась и в более позднее время.

Развитие квантовых представлений показало, что задача состоит не в том, чтобы "примирить" частицы и поля, дискретное и непрерывное. Любые "частицы" и "поля" имеют двойственную природу, объединяя в себе как свойства корпускул, так и свойства волн. Однако при этом каждый из видов "волно-частиц" обладает своими индивидуальными свойствами, своими специфическими законами движения. У электрона эти законы другие, чем, например, у нейтрино или фотона. Открытие каждой новой "элементарной частицы" рассматривается в современной теории как обнаружение нового типа материи. По мере того как открывались новые частицы (а поскольку все частицы имеют и волновые свойства, можно сказать: новые типы полей), всё настоятельнее становилась потребность понять, почему их так много (сейчас уже более двухсот), объяснить их свойства и расшифровать, наконец, что означает само слово "элементарная" применительно к частице. Снова - уже на более высоком уровне - появились попытки единого описания материи.

Большую стимулирующую роль сыграла в этом отношении общая теория относительности А.Эйнштейна. В этой теории и законы тяготения, и уравнения движения притягивающихся масс получаются как следствие общих законов, определяющих гравитационное поле. Общая теория относительности связывает гравитацию с геометрическими свойствами пространства-времени. В некоторых работах делались попытки более широкой «геометризации» теории, т. е. вводились такие гипотезы, касающиеся геометрии, которые позволили бы включить в рассмотрение и электромагнитные поля, а также учесть квантовые эффекты. Такой «геометрический» подход очень привлекателен, но пока в этом направлении существенно продвинутся не удалось.

Совершенно новый подход - его можно назвать модельным - ведёт своё начало от работ Л. де Бройля по нейтринной теории света. В этих работах предполагается, что фотоны - кванты света - представляют собой пары "слившихся" нейтрино (отсюда название - "теория слияния"). Нейтрино не имеет электрического заряда, его масса покоя равна нулю и спин равен 1/2 (в единицах постоянной Планка). Сливаясь, два нейтрино могут образовать нейтральную частицу с нулевой массой и спином 1, т. е. с характеристиками фотона.

Нейтринная теория света, хотя и не свободная от недостатков, была первой в ряду моделей составных частиц. Среди них - модель Э. Ферми и Ян Чженьнина, рассматривающая p-мезон как связанное состояние нуклона и антинуклона, модель Сёити Саката (Япония), М. А. Маркова и Л. Б. Окуня, в которой все сильно взаимодействующие частицы строились из трёх фундаментальных частиц, и др.

Особенное распространение в последние годы получила модель кварков, предложенная впервые (1964) М. Гелл-Маном и Г. Цвейгом. Согласно этой модели, все сильно взаимодействующие частицы (мезоны, барионы, резонансные частицы) состоят из особых "субчастиц" с дробными электрическими зарядами - из кварков трёх типов, а также соответствующих античастиц (антикварков). Эта модель, оказавшаяся весьма плодотворной для систематики элементарных частиц и объяснившая ряд тонких эффектов, связанных с массами частиц, их магнитными моментами, и некоторые др. экспериментальные факты, резко снижает число претендентов на звание "истинно элементарных" частиц и, следовательно, в известной мере решает задачу единого описания материи. Однако теория ещё далека от необходимой ясности, равно как и эксперименту надлежит ответить на ряд кардинальных вопросов. Достаточно сказать, что кварки в свободном состоянии ещё не обнаружены и не исключено, что это невозможно в принципе. В этом случае кварковая модель потеряет свой смысл как составная модель.

Ещё до создания кварковой модели В. Гейзенберг (1957) начал развивать теорию, в которой за основу принимается универсальное единое поле, описываемое величинами, которые в математике называются спинорами; поэтому теория получила название единой нелинейной спинорной теории. В отличие от описанной выше теории слияния это фундаментальное, описывающее "материю в целом" поле не связывается непосредственно ни с какой реальной частицей. Второе существенное отличие основного уравнения теории Гейзенберга - нелинейность, отражающая взаимодействия фундаментального поля с самим собой. Математически это выражается в появлении в уравнении движения членов, пропорциональных не самой, описывающей поле величине, а отличной от единицы её степени. Как и в общей теории относительности, благодаря этой нелинейности уравнения движения реальных частиц должны получаться из основного уравнения. Из этого же уравнения должны вытекать значения масс, электрических зарядов, спинов и др. характеристик частиц.

Математическое исследование уравнения Гейзенберга представляет собой трудную задачу, которую пока удалось решить лишь в довольно грубом приближении. Более того, до сих пор ещё не доказана самосогласованность процедуры устранения бесконечностей в теории Гейзенберга. Вместе с тем количественные результаты, полученные в этой теории, кажутся обнадёживающими и общая программа нелинейной Единой теории поля продолжает считаться перспективной.

Таким образом, Единая теория поля ещё не построена. Однако неразрывная связь между всеми частицами, универсальная взаимная превращаемость частиц, всё более явственно проявляющиеся черты единства материи заставляют искать пути перехода от современной квантовой теории поля, ограничивающейся констатацией многообразия форм материи, к единой теории, которая призвана это многообразие объяснить.

Больщое влияние на развитие Теоирии единого поля оказала Теория тяготения Эйнштейна. Какова же основная идея этой теории?

Для того чтобы имитировать, например, сферическое поле тяготения Земли, нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой связь, обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и тем самым установят отсутствие истинного поля тяготения. Таким образом, истинное поле тяготения не сводится просто к введению ускоренной системы отсчёта в обычном пространстве, или, говоря точнее, в пространстве-времени специальной теории относительности. Однако Эйнштейн показал, что если, исходя из принципа эквивалентности, потребовать, чтобы истинное гравитационное поле было эквивалентно локальным соответствующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчёта, то в любой конечной области пространство-время окажется искривленным — неевклидовым. Это означает, что в трёхмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой (сумма углов треугольника не равна p, отношение длины окружности к радиусу не равно 2p и т.д.), а время в разных точках будет течь по-разному. Таким образом, согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.

Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии русским математиком Н. И. Лобачевским, венгерским математиком Я. Больяй, немецкими математиками К. Гауссом и Б. Риманом.

В отсутствие тяготения движение тела по инерции в пространстве-времени специальной теории относительности изображается прямой линией, или, на математическом языке, экстремальной (геодезической) линией. Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу теории тяготения, заключается в том, что и в поле тяготения все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезические линии уже не прямые.

Массы, создающие поле тяготения, искривляют пространство-время. Тела, которые движутся в искривленном пространстве-времени, и в этом случае движутся по одним и тем же геодезическим линиям независимо от массы или состава тела. Наблюдатель воспринимает это движение как движение по искривленным траекториям в трёхмерном пространстве с переменной скоростью. Но с самого начала в теории Эйнштейна заложено, что искривление траектории, закон изменения скорости — это свойства пространства-времени, свойства геодезических линий в этом пространстве-времени, а следовательно, ускорение любых различных тел должно быть одинаково и, значит, отношение тяжёлой массы к инертной (от которого зависит ускорение тела в заданном поле тяготения, см. формулу (6)) одинаково для всех тел, и эти массы неотличимы. Таким образом, поле тяготения, по Эйнштейну, есть отклонение свойств пространства-времени от свойств плоского (не искривлённого) многообразия специальной теории относительности.

Вторая важная идея, лежащая в основе теории Эйнштейна, — утверждение, что тяготение, то есть искривление пространства-времени, определяется не только массой вещества, слагающего тело, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась обобщением на случай теории тяготения принципа эквивалентности массы (m) и энергии (Е) специальной теории относительности, выражающейся формулой Е = mс2. Согласно этой идее, тяготение зависит не только от распределения масс в пространстве, но и от их движения, от давления и натяжений, имеющихся в телах, от электромагнитного поля и всех др. физических полей.

Наконец, в теории тяготения Эйнштейна обобщается вывод специальной теории относительности о конечной скорости распространения всех видов взаимодействия. Согласно Эйнштейну, изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со скоростью с.

Уравнения тяготения Эйнштейна

В специальной теории относительности в инерциальной системе отсчета квадрат четырёхмерного «расстояния» в пространстве-времени (интервала ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:

ds2= (cdt)2 - dx2- dy2 - dz2 (7)

где t — время, х, у, z — прямоугольные декартовы (пространственные) координаты. Эта система координат называется галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах (с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов в правой части). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или, точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении (7) перед (cdt)2 стоит знак «+», в отличие от знаков «—» перед квадратами дифференциалов пространственных координат. Таким образом, специальная теория относительности является теорией физических процессов в плоском пространстве-времени (пространстве-времени Минковского).

В пространстве-времени Минковского не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в которых интервал записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда квадрат интервала ds2 будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:

ds2 = gikdx idx k (8)

(i, k = 0, 1, 2, 3), где x 1, x 2, x 3— произвольные пространств, координаты, x0 = ct — временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физической точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от инерциальной системы отсчёта к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе не декартовых пространственных координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в специальной теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается особенно просто. (В этом случае в формуле (8) gik= 0 при i ¹ k, g00 = 1, gii = —1 при i = 1, 2, 3.)

В общей теории относительности пространство-время не плоское, а искривленное. В искривленном пространстве-времени (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях такого искривленного пространства-времени ds2 записывается в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная gik как функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Говорят, что величины gik определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех gik называют метрическим тензором. С помощью gik вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени dt по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид:

При наличии поля тяготения величина g00 в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля тяготения. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.

Математическим аппаратом, изучающим неевклидову геометрию в произвольных координатах, является тензорное исчисление. Общая теория относительности использует аппарат тензорного исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковариантном виде.

Основная задача теории тяготения — определение гравитационного поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрического тензора gik.

Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины gik с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т.п. Эти уравнения записываются в виде:

(9)

Здесь Rik — так называемый тензор Риччи, выражающийся через gik, его первые и вторые производные по координатам; R = Rik g ik (величины g ik определяются из уравнений gikg km = , где — Символ Кронекера); Tik — так называемый тензор энергии-импульса материи, компоненты которого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физической материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное поле, все др. физические поля).

Вскоре после создания общей теории относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения уравнений (9) с сохранением основных принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнений (9) так называемого «космологического члена»: Lgik. Постоянная L, называется «космологической постоянной», имеет размерность см-2. Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, которая не изменяется со временем. Космологический член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение) вакуума. Однако вскоре (в 20-х гг.) советский математик А. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без L-члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной, а американский астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон так называемого красного смещения для галактик, которое было истолковано как подтверждение эволюционной модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статической Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с L-членом тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в L-члене отпала. После этого Эйнштейн пришёл к выводу, что введение L-члена в уравнения тяготения не нужно (то есть что L = 0). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна. Но следует подчеркнуть, что пока нет никаких серьёзных наблюдательных, экспериментальных или теоретических оснований считать L отличным от нуля. Во всяком случае, если L ¹ 0, то, согласно астрофизическим наблюдениям, его абсолютная величина чрезвычайно мала: |L|< 10-55 см-2. Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается во всех др. задачах теории тяготения. Везде в дальнейшем будет положено L = 0.

Внешне уравнения (9) подобны уравнению для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа — величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (9) имеют ряд существенных особенностей. Уравнение ньтоновского потенциала линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитационный потенциал j для любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле тяготения не зависит от движения масс, поэтому уравнение Ньтона само не определяет непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона. Иная ситуация в теории Эйнштейна. Уравнения (9) не линейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теории Эйнштейна нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений (Tik), зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитационное поле gik. Решение уравнений Эйнштейна приводит к совместному определению и движения материи, создающей поле, и к вычислению самого поля. Существенно при этом, что уравнения поля тяготения содержат в себе и уравнения движения масс в поле тяготения. С физической точки зрения это соответствует тому, что в теории Эйнштейна материя создаёт искривление пространства-времени, а это искривление, в свою очередь, влияет на движение материи, создающей искривление. Разумеется, для решения уравнений Эйнштейна необходимо знать характеристики материи, которые не зависят от гравитационных сил. Так, например, в случае идеального газа надо знать уравнение состояния вещества — связь между давлением и плотностью.

В случае слабых гравитационных полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна приближённо переходят в уравнения нютоновского потенциала и второго закона Ньютона (если рассматриваются движения, медленные по сравнению со скоростью света, и расстояния от источника поля много меньше, чем l = сt, где t — характерное время изменения положения тел в источнике поля). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок к уравнениям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют экспериментально проверить теорию Эйнштейна (см. ниже). Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитационных полях.

Некоторые выводы теории тяготения Эйнштейна

Ряд выводов теории Эйнштейна качественно отличается от выводов ньютоновской теории тяготения Важнейшие из них связаны с возникновением «черных дыр», сингулярностей пространства-времени (мест, где формально, согласно теории, обрывается существование частиц и полей в обычной, известной нам форме) и существованием гравитационных волн.

Чёрные дыры. Согласно теории Эйнштейна, вторая космическая скорость в сферическом поле тяготения в пустоте выражается той же формулой, что и в теории Ньютона:

(10)

Следовательно, если тело массы т сожмётся до линейных размеров, меньших величины r =2 Gm/c2, называемой гравитационным радиусом, то поле тяготения становится настолько сильным, что даже свет не может уйти от него на бесконечность, к далёкому наблюдателю; для этого потребовалась бы скорость больше световой. Такие объекты получили название чёрных дыр. Внешний наблюдатель никогда не получит никакой информации из области внутри сферы радиуса r = 2Gm/с2. При сжатии вращающегося тела поле тяготения, согласно теории Эйнштейна, отличается от поля не вращающегося тела, но вывод об образовании чёрной дыры остаётся в силе.

В области размером меньше гравитационного радиуса никакие силы не могут удержать тело от дальнейшего сжатия. Процесс сжатия называется гравитационным коллапсом. При этом растет поле тяготения — увеличивается искривлённость пространства-времени. Доказано, что в результате гравитационного коллапса неизбежно возникает сингулярность пространства-времени, связанная, по-видимому, с возникновением его бесконечной искривлённости. (Об ограниченности применимости теории Эйнштейна в таких условиях см. следующий раздел.) Теоретическая астрофизика предсказывает возникновение чёрных дыр в конце эволюции массивных звёзд; возможно существование во Вселенной чёрных дыр и др. происхождения. Чёрные дыры, по-видимому, открыты в составе некоторых двойных звёздных систем.

Гравитационные волны. Теория Эйнштейна предсказывает, что тела, движущиеся с переменным ускорением, будут излучать гравитационные волны. Гравитационные волны являются распространяющимися со скоростью света переменными полями приливных гравитационных сил. Такая волна, падая, например, на пробные частицы, расположенные перпендикулярно направлению её распространения, вызывает периодические изменения расстояния между частицами. Однако даже в случае гигантских систем небесных тел излучение гравитационных волн и уносимая ими энергия ничтожны. Так, мощность излучения за счёт движения планет Солнечной системы составляет около 1011 эрг/сек, что в 1022 раз меньше светового излучения Солнца. Столь же слабо гравитационные волны взаимодействуют с обычной материей. Этим объясняется, что гравитационные волны до сих пор не открыты экспериментально.

Квантовые эффекты. Ограничения применимости теории тяготения Эйнштейна

Теория Эйнштейна — не квантовая теория. В этом отношении она подобна классической электродинамике Максвелла. Однако наиболее общие рассуждения показывают, что гравитационное поле должно подчиняться квантовым законам точно так же, как и электромагнитное поле. В противном случае возникли бы противоречия с принципом неопределённости для электронов, фотонов и т.д. Применение квантовой теории к гравитации показывает, что гравитационные волны можно рассматривать как поток квантов — «гравитонов», которые так же реальны, как и кванты электромагнитного поля — фотоны. Гравитоны представляют собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином, равным 2 (в единицах Планка постоянной).

В подавляющем большинстве мыслимых процессов во Вселенной и в лабораторных условиях квантовые эффекты гравитации чрезвычайно слабы, и можно пользоваться не квантовой теорией Эйнштейна. Однако квантовые эффекты должны стать весьма существенными вблизи сингулярностей поля тяготения, где искривления пространства-времени очень велики. Теория размерностей указывает, что квантовые эффекты в гравитации становятся определяющими, когда радиус кривизны пространства-времени (расстояние, на котором проявляются существенные отклонения от геометрии Евклида: чем меньше этот радиус, тем больше кривизна) становится равным величине rпл= . Расстояние rпл называется планковской длиной; оно ничтожно мало: rпл = 10-33 см. В таких условиях теория тяготения Эйнштейна неприменима.

Сингулярные состояния возникают в ходе гравитационного коллапса; сингулярность в прошлом была в расширяющейся Вселенной. Последовательной квантовой теории тяготения, применимой и в сингулярных состояниях, пока не существует.

Квантовые эффекты приводят к рождению частиц в поле тяготения чёрных дыр. Для чёрных дыр, возникающих из звёзд и имеющих массу, сравнимую с солнечной, эти эффекты пренебрежимо малы. Однако они могут быть важны для чёрных дыр малой массы (меньше 1015 г), которые в принципе могли возникать на ранних этапах расширения Вселенной.

Экспериментальная проверка теории Эйнштейна

В основе теории тяготения Эйнштейна лежит принцип эквивалентности. Его проверка с возможно большей точностью является важнейшей экспериментальной задачей. Согласно принципу эквивалентности, все тела независимо от их состава и массы, все виды материи должны падать в поле тяготения с одним и тем же ускорением. Справедливость этого утверждения, как уже говорилось, была впервые установлена Галилеем. Венгерский физик Л. Этвеш с помощью крутильных весов доказал справедливость принципа эквивалентности с точностью до 10-8; американский физик Р. Дикке с сотрудниками довёл точность до 10-10, а советский физик В. Б. Брагинский с сотрудниками — до 10-12.

Другой проверкой принципа эквивалентности является вывод об изменении частоты n света при его распространении в гравитационном поле. Теория предсказывает изменение частоты Dn при распространении между точками с разностью гравитационных потенциалов j1 — j2:

(11)

Эксперименты в лаборатории подтвердили эту формулу с точностью по крайней мере до 1% .

Кроме этих экспериментов по проверке основ теории, существует ряд опытных проверок её выводов. Теория предсказывает искривление луча света при прохождении вблизи тяжёлой массы. Аналогичное отклонение следует и из ньютоновской теории тяготения, однако теория Эйнштейна предсказывает вдвое больший эффект. Многочисленные наблюдения этого эффекта при прохождении света от звёзд вблизи Солнца (во время полных солнечных затмений) подтвердили предсказание теории Эйнштейна (отклонение на 1,75’’ у края солнечного диска) с точностью около 20%. Гораздо большая точность была достигнута с помощью современной техники наблюдения внеземных точечных радиоисточников. Этим методом предсказание теории подтверждено с точностью (на 1974) не меньшей 6%.

Др. эффектом, тесно связанным с предыдущим, является большая длительность времени распространения света в поле тяготения, чем это дают формулы без учёта эффектов теории Эйнштейна. Для луча, проходящего вблизи Солнца, эта дополнительная задержка составляет около 2×10-4 сек. Эксперименты проводились с помощью радиолокации планет Меркурий и Венера во время их прохождения за диском Солнца, а также с помощью ретрансляции радиолокационных сигналов космическими кораблями. Предсказания теории подтверждены (на 1974) с точностью 2%.

Наконец, ещё одним эффектом является предсказываемый теорией Эйнштейна медленный дополнительный (не объясняемый гравитационными возмущениями со стороны др. планет Солнечной системы) поворот эллиптических орбит планет, движущихся вокруг Солнца. Наибольшую величину этот эффект имеет для орбиты Меркурия — 43’’ в столетие. Это предсказание подтверждено экспериментально, согласно современным данным, с точностью до 1%.

Таким образом, все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают правильность как положений, лежащих в основе теории тяготения Эйнштейна, так и её наблюдательных предсказаний.

Следует подчеркнуть, что эксперименты свидетельствуют против попыток построить другие теории тяготения, отличные от теории Эйнштейна.

В заключение отметим, что косвенным подтверждением теории тяготения Эйнштейна является наблюдаемое расширение Вселенной, теоретически предсказанное на основе общей теории относительности советским математиком А. А. Фридманом в середине 20-х гг. нашего столетия.