Скачать

Цилиндр и конус

Цилиндр

Цилиндром называется тело, которое состоит из 2 кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соотв. точки этих кругов. Круги называются основанием цилиндра, а отрезки образующими цилиндра. Также, как и для призмы доказывается, что основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, образующие параллельны и равны

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом ц. называется радиус его основания. Высота расстояние между плоскостями оснований. Ось - прямая, проходящая через центры основан

Сечение ц. плоскостью, проходящей через ось ц. - осевое сечение

Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания

Доказательство. Пусть б - плоскость, перпендикулярная оси цилиндра. Эта плоскость || основаниям. Параллельный перенос в направлении оси ц., совмещающий плоскость б с плоскостью основания ц., совмещает сечение б. п плоскостью б с окружностью основания. Ч. Т. Д

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая п., основания которой - равные многоугольники, вписанные в основание ц. Призма называется описанной около ц., если ее основания - равные многоугольники, описанные около основания ц

Конус К. называется тело, которое состоит из круга - основания к., точки не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину к. с точками окружности основания, называются образующими конуса. К

называется прямым, если прямая соединяющая вершину к. с центром основания, перпендикулярна плоскости основания

Высотой к. называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение к. плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую к. и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса

Теорема 19.2. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности, с центром на оси конуса

Док-во. Пусть б - плоскость, перпендикулярная оси конуса и пересекающая к. Преобразование гомотетии относительно вершины к., совмещающее плоскость б с плоскостью основания, совмещает сечение к. плоскостью б с основанием к

Следовательно, сечение к. плоскостью есть круг, а сечение б. п. - окружность с центром на оси конуса

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает он него меньший к. Оставшаяся часть называется усеченным к. Ч. Т. Д

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания к., а вершина совпадает с вершиной к