Скачать

Статистическая проверка гипотез

Содержание

Введение

Статистическая проверка гипотез

1.Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Ошибки, возникающие при проверке гипотез

2. Порядок проверки статистических гипотез

3. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок

4. Проверка гипотезы о воспроизводимости опытов

5. Проверка гипотезы о нормальном распределении ошибок эксперимента

6. Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерий согласия Пирсона )

6.1 Расчёт теоретических частот для нормального распределения

7.Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)

8. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

8.1 Метод наименьших квадратов

8.2 Проверка незначимости коэффициента корреляции

8.3 Использование корреляционной таблицы для вычисления коэффициента корреляции

Вывод

Список литературы

Приложения

Тема курсовой работы «Статистическая проверка гипотез».

К важнейшим направлениям научно-технического прогресса относятся автоматизация производства, широкое применение компьютеров и роботов, создание гибких автоматизированных устройств и т.д. Во всех этих направлениях ведущая роль принадлежит электронике.

При создании электронной и электромеханической аппаратуры основные трудозатраты приходятся на ее настройку, снятие характеристик и испытания. При этом нередко используется малоэффективный традиционный метод однофакторного эксперимента, недостаточно внимания уделяется организации и планированию эксперимента и вероятностно-статистическому анализу получаемых данных. Чтобы повысить производительность труда в данной области, специалистам необходимо знать основы математической теории эксперимента и успешно применить ее на практике.

Цель работы – ознакомится со статистической проверкой гипотез, а именно:

о воспроизводимости результатов эксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, о наличии корреляционных связей между факторами и переменной состояния и др., рассмотрении практических примеров.

1. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Ошибки, возникающие при проверке гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Например, гипотеза H₀ - случайная величина распределена по нормальному закону.

Нулевой (основной) называется выдвинутая гипотеза H₀.

Альтернативной (конкурирующей) называется гипотеза, противоречащая основной (конкурирующих гипотез может быть несколько).

Например, основная гипотеза - математическое ожидание случайной величины Y равно 5

H₀ : M_y=5,

конкурирующие:

H₁ :

H₂ :

H₃ :

Статистическим критерием (К) называется случайная величина, точное или приближённое распределение, которой известно и которая служит для проверки справедливости нулевой гипотезы.

Множество возможных значений критерия делится на две непересекающихся области:

1) значения, при которых нулевая гипотеза справедлива (область принятия гипотезы).

2) значения, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая область).

Критическая область может быть односторонней (левосторонней, правосторонней) или двусторонней.

Рис.1. Виды критических областей: правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя.

Точка К_кр, отделяющая критическую область от области принятия гипотезы, называется критической точкой.

Чтобы определить критическую область, выбирают число q-уровень значимости. q- вероятность того, что при справедливости нулевой гипотезы значение критерия К попадает в критическую область. Тогда для правосторонней критической области К_кр определяется из условия:

P { K > K_kp} = q.

Значение критерия табулировано, т. е. K_kp можно найти по таблице распределения критических точек в зависимости от уровня значимости q и числа степеней свободы f. -Наблюдаемое значение критерия K_набл определяется по результатам эксперимента.

Если K_набл<K_kp, то гипотеза H₀ принимается. Если K_набл>K_kp, то H₀ отвергается, а принимается конкурирующая гинотеза H₁.

Для левосторонней критической области критическая точка определяется из условия:

P { K < K_kp} = q.

Для двухсторонней:

P { K < K’_kp} + P { K > K”_kp} = q.

Если двусторонняя область симметрична относительно начала координат, то:

P { K < K’_kp} = .

Так как наблюдаемое значение критерия определялось по результатам эксперимента, то К_набл-случайная величина и, следовательно, могут возникать ошибки при принятии гипотезы. Различают ошибки первого и второго рода. К ошибкам первого рода относят те, при которых отвергается правильная гипотеза. К ошибкам второго рода, относят те, при которых принимается неправильная гипотеза. Допустимой вероятностью ошибки первого рода является q-уровень значимости. Однако. если уменьшать q, то возрастает вероятность принятия неверной гипотезы, т. е. вероятность ошибок второго рода. Если справедлива гипотеза H₁, то это считается доказанным, если справедлива гипотеза H₀-то говорят, что результаты эксперимента не противоречат нулевой гипотезы. Для того чтобы считать H₀ доказанной нужно или вновь повторить эксперимент или проверить гипотезу с помощью других критериев.

2. Порядок проверки статистических гипотез

1) Выбор нулевой и альтернативной гипотез H₀ и H₁.

2) Выбор критерия K и уровня значимостиq.

3) Вычисление K_набл по результатам эксперимента.

4) ПоискK_kp по таблице распределения критических точек для выбранного критерия.

5) Если K_набл попадает в критическую область, то принимается альтернативная гипотеза H₁, если K_набл попадает в область принятия гипотезы, то принимается основная гипотеза H₀.

3. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок

Результаты эксперимента удобно оформлять в виде таблицы . В графах 2-5 содержится план эксперимента (значение факторов), в остальных графах – результаты опытов. Пусть поводится N серий экспериментов серии (то есть в каждом из N точек факторного пространства проводится по  опытов). Обозначим :

-значение j-того фактора в i-той серии;( j = 1,…,n ).

-значения отклика (переменной состояния ) в j-ом параллельном опыте i-ой серии .

Вычислим оценки математического ожидания для каждой серии:

Таблица 1.