Решение задач по высшей математике
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
;
.
Решение
,
Задача 2
Вычислить определитель:
.
Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
.
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.
Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;
Решение
Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители
,
,
.
.
;
;
.
По формуле Крамера, получим
;
;
.
Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица и
имеют вид
,
.
Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему
Считая и
известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид
;
,
где ,
- могут принимать произвольные значения. Пусть
, где
Тогда ответом будет служить множество
Задача 7
Даны начало и конец
вектора
. Найти вектор
и его длину.
Решение
Имеем , откуда
или
.
Далее , т.е.
.
Задача 8
Даны вершины треугольника ,
и
. Найти с точность до
угол
при вершине
.
Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами и
:
,
;
. Тогда
,
.
Задача 9
Даны вершины треугольника ,
и
. Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, т.е.
, то
. Найдем векторы
и
:
;
;
.
Вычислим их векторное произведение:
,
,
Откуда
. Следовательно,
(кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды ,
,
и
. Найти ее объем.
Решение
Имеем ,
и
. Найдем векторное произведение
,
.
Этот вектор скалярно умножим на вектор :
.
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:
.
Следовательно, объем:
,
(куб. ед.).
Задача 11
Составить уравнение прямой, проходящей через точки и
.
Решение
За первую вершину примем (на результат это не влияет); следовательно,
,
,
,
.
Имеем
,
,
,
Ответ: - общее уравнение искомой прямой.
Задача 12
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно и перпендикулярно прямой
.
Решение
Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен
, а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:
1) параллельной: ,
- общее уравнение прямой, параллельной данной;
2) перпендикулярной: ,
- общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.
Задача 13
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми и
.
Решение
Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть
. Для определения координат точки
на прямой
одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём
; тогда
,
и
. По формуле расстояния от точки до прямой находим:
;
.
Задача 14
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница
а)
б)
(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Имеем:
Тогда по признаку Даламбера:
, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
а)
б) ,
следовательно ряд - сходится.
2) Пусть . Тогда
. Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом
. Имеем
.
Таким образом, ряд - расходится.
Ответ
Область сходимости ряда есть интервал
.
Задача 15
Вычислить предел .
Решение
Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной
, т.е. на
:
,
так как при
.
Задача 16
Вычислить придел
Решение
Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители
, где
- его корни.
Тогда
.
Задача 17
Вычислить предел .
Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
.
Задача 18
Вычислить предел .
Решение
Легко убедиться, что и
при
.
Поэтому
.
Задача 19
Вычислить предел
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
.
Задача 20
Найти предел .
Решение
.
Задача 21
Продифференцировать функцию .
Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала .
Решение
Пусть . Тогда
. Обозначим:
;
. Отсюда
. Находим
и
.
.
Итак, .
Задача 23
Найти .
Решение
Подстановка в заданную функцию значения приводит к неопределенности вида
. Применив правило Лопиталя, получим:
.
Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение
1. Находим область определения функции:.
2. Находим производную функции: .
3. Находим критические точки, решая уравнение или
. Критические точки
,
.
4. Область определения функции разбиваем критическими точками и
на интервалы, в каждом из которых определяем знак
, делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.
+ | 0 | — | 0 | + | |
Возрастает | Max | убывает | Min | Возрастает |
Категории:
- Астрономии
- Банковскому делу
- ОБЖ
- Биологии
- Бухучету и аудиту
- Военному делу
- Географии
- Праву
- Гражданскому праву
- Иностранным языкам
- Истории
- Коммуникации и связи
- Информатике
- Культурологии
- Литературе
- Маркетингу
- Математике
- Медицине
- Международным отношениям
- Менеджменту
- Педагогике
- Политологии
- Психологии
- Радиоэлектронике
- Религии и мифологии
- Сельскому хозяйству
- Социологии
- Строительству
- Технике
- Транспорту
- Туризму
- Физике
- Физкультуре
- Философии
- Химии
- Экологии
- Экономике
- Кулинарии
Подобное:
- Незалежні випробування
Курсова роботаз дисциплини: Теорема ймовірностіна тему: Незалежні випробуванняВведенняПри практичному застосуванні теорії ймовірно
- Поверхневі інтеграли
ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ1. Поверхневі інтеграли першого родуПоверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.Нехай
- Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОКПредставлення точок здійснюється наступним чином:На площині У просторі Перетворення точок.Розгляне
- Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона
Федеральное агентство по образованию РФСибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)Кафедра: «Высшая математик
- Теория вероятностей
Контрольная работаТеория вероятностейЗадача № 1событие вероятность задачаОпыт – Брошены 2 игральные кости. Образуют ли полную группу
- Теория вероятностей
Министерство образования и науки Российской ФедерацииБузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) государственного об
- Інтегральні характеристики векторних полів
інтегральні характеристики векторних полів1. Диференціальні операції другого порядкуНехай в області задані скалярне поле і векторн
Copyright © https://referat-web.com/. All Rights Reserved