Скачать

Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

            Предположим, что существует множество R , на котором   расположены две алгебраические операции сложение и умножение

Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:

  .                                           

             И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению

В случае если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны

Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность

Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т.е. 0.  

Приравняв у и z к нулю, получим: x *0 = x *0 + x *0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x *0 = 0

В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т.е. отрицательный, приравняв   z к (- y ), получим: 0 = x *0 = x * y + x *(- y ) отсюда следует,   x *(- y ) = - x * y

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим:

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля

Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+,*), если:

1. 0

Обратимыми называют те элементы кольца R , которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через

Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.

2.Умножение в R дистрибутивно относительно сложения

Ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности

Кольцо с единицей - наличие нейтрального элемента для операции умножения

3. ( R ,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R )

Приведем некоторые примеры колец и полей

Допустим R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p = , где   называется многочленом над кольцом R .  

Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R ( x ).Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R ( x ). Если   , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg ( p )

Если R не имеет делителей нуля, то deg ( pq )= deg ( p )+ deg ( q ) и потому R ( x ) также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R , рассматриваемые как многочлены нулевой степени

Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R ( x , y ) = R ( x )( y ) (= R ( y )( x ))

Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа   содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в   необратимы, хотя и не являются делителями нуля

Рассмотрим поля R , Q , и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел. Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2). Если p - простое число, то все вычеты по модулю p , кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e . Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом. Рассматривая группу   с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF ( p )

Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно

Множество квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц

Если det ( A ) обратимый элемент кольца R , то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица Если R содержит единицу , то матрица   Е =   diag ( , ,..., ) ,будет единицей кольца матриц

Для любой матрицы     имеет смысл понятие определителя det ( A )   R , причем det ( AB )= det ( A ) det ( B )

= - группа матриц порядка n с обратимым определителем.   Любая вырожденная матрица   будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det ( A ) 0, то есть матрица невырождена. В самом деле, из det ( A ) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. А*В = 0, где А является делителем нуля, в том случае если В - ненулевая матрица

Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу

Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; = diag (1,1,...,1,0)   = diag (1,1,...,1)

Допустим - некоторое подкольцо. К,+ - подгруппа коммутативной группы R ,+, можно образовать факторгруппу R / K , элементами которой являются смежные классы   r + K

Поскольку К*К К,   для произведения двух смежных классов имеет место включение: ( r + K )*( s + K ) r * s + r * K + K * s + K

Подкольцо К называется идеалом кольца R , если : x * K K и      K * y K

Мы видим, что если К является идеалом в R , произведение смежных классов      ( r + K )*( s + K ) содержится в смежном классе r * s + K . Значит в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К

Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R

Согласно данной интерпретации К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения:

К будет обладать свойствами ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами

             Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:   и   называется Гомоморфизмом колец

Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker . Если эти изоморфные кольца отождествить, то   отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо

Ядро группового гомоморфизма   аддитивных групп   называется ядром гомоморфизма

Ядро гомоморфизма колец является идеалом

Пусть - гомоморфизм колец, I = Ker ,   - любой элемент. Тогда, ( x * I ) = ( x )* ( I ) = ( x )*0 =0. Значит, x * I Ker = I . Аналогично проверяется, что I * x I

Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом

При отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как, ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу

Приведем примеры

Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем, то. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда

Если   любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S , называемым главным идеалом с образующим элементом x . Этот идеал обозначается ( x ).   Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то ( x )= S

Факторкольцо Z / nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом   кольца Z является подкольцо nZ , так как для любого целого m m ( nZ ) nZ . Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля

Допустим, что I идеал кольца R . Тогда соотнося каждому элементу   смежный класс r + I , получаем сюръективный гомоморфизм   , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо

Предположим, что I R ( x ) является множество всех многочленов , у которых =0. Тогда I = xR ( x ). Так как p * I =( p * x ) R ( x ) I , значит получаем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q + I содержит элемент . Поэтому, ( q + I )*( s + I ) = ( + I )*( + I ) = * + I