Скачать

Несобственный интеграл с несколькими особенностями

  Дадим определение сначала несобственному интегралу

  Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : ( a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке ( a , b ) О ( a , w )

Тогда, если   существует:                

То его величина обозначается  

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f   на промежутке ( a , w )

             Если предел не существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл   расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится

Если функция   f   неотрицательна   и   непрерывна   на промежутке ( a , b ) ( b может   быть   бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b )

Если   функция    определена   на интервале   ( a , b )   и неограниченна   в точках   a и b   и   при некотором выборе   точки с   ( a , b )   существуют   несобственные   интегралы   на полуинтервалах ( a , c ) и( c , b ), c О ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки   с . Тогда

         Y

                                      f ( x )

               0            a k             c                 l   b         X

Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение   < a , b >, что на каждом   из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой   точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

то

сходится

Аналогично, интеграл расходится, значит

расходится

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями

   Y

                                                                f ( x )

        0          a = k 1        k 2……… ki ……. kn -1                               kn = b (+   в данном случае)

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1.

  Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл    расходится   при   b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел

    Y

     1

               +                            +                            +       b ?             b ?                 X

     0              p        -         2 p                -                          -      b ?            b ?      ( )

Пример 2

На концах отрезка   (0,2)   подынтегральная   функция определена.   Но   x =1   является особой    точкой

Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие   интегралы:

Сначала   рассмотрим   

F ( b )= ln ((1- x )/(1+ x ))   не имеет предела   при   b 1   значит исходный   интегралы   расходятся

Но следует заметить, что прежде чем исследовать   несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную   функцию, найти ее особые точки   и   построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке   (0,2)   выглядит   примерно   так

          Y

           1

           0           1          2                     X

Пример 3

Интеграл   сходится   -   его   значение   стремится   к   -4

Предел:  

  Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

    1)Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f непрерывна на ( a , b ), и F - первообразная f .Тогда

Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )

2)Линейность несобственного интеграла

Если несобственные интегралы

Сходятся,то для любых чисел   m , n сходятся несобственный интеграл

3)Интегрирование по частям

Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке ( a , b ),то

Причем,если любые два из выражений

имеют   смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):

Причем

4)Замена переменной в несобственном интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на (a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на (t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:

Пример 6:

Монотонность несобственного интеграла

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке и f(x),то

Рисунок 6,7:

      Y                                                                                       Y

                                                                                                                       g ( x )

                                      g(x)                                                                           f(x)  

       0                                     f(x)                             X                              0           a b                              X

Следствие: f О R^;|f| О R^;

Рисунок 8:

      Y

                                          | f |

                         +                  +             +               +

        0           a                       -                              -

                                     f

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1)

т.е. сходится, а для fg =1/ x

Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1)

Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)

и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо   применять следующие методы:

Признак сравнения

Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:

Пусть функции f(x) и g(x)   неотрицательны на полуинтервале (a,b) и f(x)

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости

Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида  

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке (a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках (a, ) и на (a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Пример 9:

  Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на (a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел

Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a):

Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо   отыскать функцию сравнения в виде:

Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a)

Пример 10

Видно, что интеграл расходится. На интервале (3;5) функция сравнения принимает следующий вид

Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен

При   x 0

Ln(1+x)~x

Sinx~x

Tgx~x

Arcsinx,arctgx~x

Нельзя забывать, что при x

Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )

При x 0 Arccosx,arcctgx p /2

Теперь вспомним пример 8.1

Решим с помощью правила Лопиталя:

Пример 11

Полученный интеграл расходится

Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов

Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):( a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям:

а)   при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на ( a ; b )

Пример 12

Справедливо:

Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале (a;b):

a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0

Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций

Если интеграл

сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся,

И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится

Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл   от |f(x)| расходится, а от f(x) –сходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает   с   обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле