Лекции по Математическому анализу

Аксиома непрерывности вещественных чисел

Пусть , причем и : , тогда

Множеством вещественных чисел называется линейно упорядоченное непрерывное числовое поле.

Замечание: Аксиома непрерывности гарантирует, что каждому вещественному числу соответствует единственный тип числовой прямой и, наоборот, каждой числовой прямой соответствует единственное вещественное число.

Представление (модель) вещественного числа.

Можно доказать, что аксиомам удовлетворяют десятичные дроби, причем конечные (периодические) соответствуют рациональным числам, а бесконечные (непериодические) – иррациональным числам.

Т.к. бесконечные дроби нельзя использовать при вычислениях (не представимы в ЭВМ), то в реальных расчетах пользуются исключительно рациональными числами, но доказано, что любое вещественное число можно с любой степенью точности представить рациональным числом.

Свойство числового множества (следует из свойства упорядоченности).

Множество - ограничено сверху, если .

Число M – верхняя граница множества X.

Любое число - точка верхней границы, т.к.

Итак, верхних границ бесконечно много.

Наименьшая из всех верхних границ – верхняя грань множества Х (sup X – супремум икс)

Множество - ограничено снизу, если .

Число В – верхняя граница множества X.

Любое число - точка нижней границы, т.к.

Наибольшая из всех нижних границ – нижняя грань множества Х (inf X).

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху.

Теорема: Любое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество, имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Понятие абсолютной величины вещественного числа.

На упорядоченном числовом множестве введем понятие модуля (абсолютной величины) вещественного числа:

Свойства:

Решение простейших неравенств с модулем.

Эквивалентность неравенств:

геометрический смысл:

Понятие  окрестности в точке х₀

 окрестности в точке х₀ (U_(x₀)) – симметричный интервал радиуса  с центром в точке х₀

Приколотой  окрестности в точке х₀ называется  окрестности этой точки без самой х₀

Открытые и замкнутые множества

Множество - называется открытым, если для любой точки этого множества найдется такая , которая целиком содержится в этом множестве.

, точки, обладающие этими свойствами, называются внутренними точками.

(a,b) – открытое множество:

Точка x X B любой окружности содержит – граничной точки множества X

Точки a и b – граничные (a;b) или (a;b).

Граничные точки могут и принадлежать, и не принадлежать множеству отрицательных. Множество своих границ не содержит.

Точка x называется предельной точкой X, если любое - окружности содержит хотя бы точек X.

(x-предельная для X) ((x) ( x, x) (x, (x) )

точки a,b являются предельными как для отрезка, так и для интервала ( (a;b) и (a;b) )

a,b отрезку x

a,b X

Граничных точек – 2

Предельных – целый отрезок (интервал)

Точка изолирована – если найдётся (x), которая .

Совокупность предельных и изолированных точек – называется точками соприкосновения множества X.

Множество X замкнутое, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Замкнутым множеством является сегмент (a;b).

Открытость и замкнутость – не альтернативные понятия. Существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми.

Например, (a;b) или (a;b).

Или одновременно открытые и замкнутые ().

Принципы существования предельной точки (Вейерштрасс)

Всякое ограниченное бесконечное множество определяет хотя бы одну предельную точку. Для неограниченных бесконечных множеств это утверждение неверно.

(Множество целых чисел предельных точек не имеет, так как состоит их одних изолированных точек).

_________________________

Для распространения принципа Вейерштрасса на неограниченное множество вводятся новые объекты: +бесконечность, -, которые числами не являются. Вводятся правила действия над ними.

Бессмысленно:

Понятие функции.

Основной объект - функция

Основной предмет - предел.

Функция – закон, по которому элементу ставится

в соответствии ед. элемент .

Д/з₁: Область определения функции

Д/з₂: Область значения функции (f) – E(f) C Y, такое, что

(Каждый элемент множества E имеет прообраз во множестве.

Замечание 1: в определении не требуется, чтобы каждый элемент X имел

прообраз в Y.

Говорят, что функция отображает множества X во

множество Y. Всегда отображает множество X на

множестве E.

Не требуется, чтобы элементы E имели единственный прообраз во множестве X.

Д/з: Отображение, осуществляемых функций , называется взаимно однозначным отображением множества X на Y , если каждый элемент Y имеет единственный прообраз множества X. .

Д/з: Две функции равны, если:

1. .

2. совпадают законы соответствия.

Пример: 1) Равны ли функции и

Нет, так как .

2) и

Д/з: Две функции совпадают на множестве X₁, с вкл. в пересечение областей определения функций , если для любой совпадает с .

Пример: и совпадают на множестве

Д/з: выписать определения чётных, нечётных, периодичных функций; их свойства и свойства симметрии графиков, сп. зад. функций с примерами.

Общие свойства функций.

1) Ограниченность. Сводится к ограниченности множества значений.

Функция ограничена, существует , что для

- огранич.

- неогранич.; при

2) Монотонность.

Д/з: Функция называется возрастающей на промежутке X, если для любого промежутку;

Убывающей, если

Замечание: если неравенства нестрогие, то говорят о неубывании в 1 случае и невозрастании (либо неизм., убыв.) во 2 случае.

Невозрастающие и неубывающие функции – монотонные. При строгом неравенстве строгомонотонные.

Пример:

Докажем, что она убывающая на любом промежутке.

Например:

Пусть

Понятие монотонности только для промежутков.

Промежуток – множество, обладающее свойством:

наряду с любым 2-мя числами и ему принадлежат все числа, заключённые между ними .

Понятие сложной функции. (композиции функции)

Пусть даны отображения и , такие, что пересечения и - непустое множество .

Тогда вводится новое отображение, , которое включает новой функции

и закон соответствия получается по формуле:

- отображ. сложная функция (композиция).

Пример:

Обратная функция:

При взаимооднозн. отображении X на Y с пом. функции эти множествасимм. относительно этого отображения, т.е. наряду с функцией существует обр. ф-я

Д/з: называется обратной взаимооднозн. ф-и , если каждому элементу ставят в соотв. так, что .

Замечание: y взаимнообр. ф-й D(f) и E(f) мен. местами

Замечание 2: если для обр. функций сделать замену переменных , чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр. 1 и 3 квадратов.

Пример: обр. ф-я –

Элементы теории пределов.

Теория пределов формализует (перев. на мат. яз.) фразы: и Зн-я неогранич. приалинс-ся к числу A, когда x неогр. приалинс-ся к числу ф; или _n Зн-я неогр. приыл. к A тогда, когда и т.д.

Д/з: Р/м

втом числе и для x, сколько угоднок 0, т.е. хотя зн-я этой т. не имеет.

Определение предела в терминах окресностей.

Число А называется пределом при , и обозначается , если для любой -окресности числа А найдется проколатая окресность, так что ля всех х из этой окресности значения будут принадлежать -окресности числа А.

Конечный предел ф-ии (А-вещ. число)

Число А-конечный предел ф-ии в т. а, если

Частные случаи (геометрическая иллюстрация)

Конечный предел в конечной т.

а – вещественное число

Общие свойства конечного предела

1. Если - const, то ее предел сущ. и равен этой же const.

, то

2. Если конечный предел сущ., то он единственный

3. Для f(x), имеет конечный предел в т. а, сущ. такая прколотая окрестность этой т., в которой ф-ия ограничена.

4. Если ф-ия имеет в т. а, конечный предел, неравный нулю то найдется такая в т. а, в которой - ограниченная.

5. Если f(x), имеет в т. а отрицательный конечный предел, то найдется такое значение этой точки, в котором ф-ия отрицателная.

Бесконечно малые ф-ии и их свойства:

Опр:- бесконечно малая при , если

Свойства:

Пусть и являются бесконечно малыми при , а - ограничена, то бесконечно малыми является алгебраическая сумма ф-ий f(x) и (x), произведения их и произведения ф-ий на ограниченную.

Представвление ф-ии, имеющей конечный предел.

Теорема: Для того чтобы ф-ия имела конечный предел А в точке х=а, небходимо и достаточно, чтобы =А+(х), где (х)- бесконечно малая при .

Доказательство:

Алгебраические свойства фунцций имеющих конечный предел в точке а.

Пусть , тогда:

1. Существует предел алгебраической суммы этих ф-ий,равный алгебраической сумме этих пределов.

2. Существует предел произведения ф-ий  произведение пределов

3. Если предел знаменателя неравен 0 и B неравно 0 то

Следствие.

Из 1 и 2 следует, что константы можно выносить за знак предела

Бесконечно большие и их свойства

Опр. Ф-ия называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности.

Свойства

Пусть и - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия (х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия (х) и (ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.

3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.

Доказательство 2):

Доказательство 3):

Односторонние пределы в конечной точке и их связь с пределом в этой точке.

В определении предела окрестности точки а – симметричный интервал с центром в этой точке, т.е. требуется существование значений ф-ий как справа от точки а , так и слева от нее.

Когда а – граничная точка D(f)- такая ситуация невозможна. В этом, случае вводится понятие одностороннего предела, в определении которого фигурирует левые и правые полуокрестности точки а

- левосторонний предел, если в левой  полуокружности точки А, значения ф-ии лежат в -окрестности точки А

Аналогично дается определение правостороннего предела.

Теорема: Для того, чтобы в точке а существовал предел ф-ии, необходимо и достаточно существования и равенства левостороннего и правостороннего пределов

Доказательство:

1. Необходимость:

2. Достаточность:

Числовые последовательности

Задача, по которой каждому N числу, ставится в соответствие единственное вещественное число – называется числовой последовательностью.

Числовая последовательность – ф-ия натурального аргумента.

Обозначается:

Последовательность, множество значений которой состоит из одного числа – стационарная.

Так как числовая последовательность – не симметричное множество, то для него не существует понятия четности, нечетности, периодичности. Зато сохраняются свойства, связанные с упорядоченностью.

Свойства:

1. Ограниченность.

   1. последовательность ограничена сверху, если

   2. последовательность ограничена снизу, если

   3. последовательность ограничена, если

2. Монотонность.

   1. последовательность возрастает, если

   2. последовательность убывает, если

   3. последовательность не убывает, если

   4. последовательность не возрастает, если

Предел последовательности

Т.к. N числа имеет 1 т. бесконечности, то для числовой последовательности существует

Замечания:

1. А может быть конечным или бесконечным

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, а если нет – расходящейся.

2. Общие свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеющих конечный предел.

3. Арифметические свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеют конечный предел

4. Переход к пределам в неравенствах, для сходящихся последовательностей аналогичен ф-ям, имеющим конечный предел.

5. Определение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и их свойства аналогичны соответствующим определениям и свойствам ф-ии непрерывного аргумента.

Критерии существования предела последовательности

1. Критерии Коши (произведения последовательностей)

Для существования предела последовательностей необходимо и достаточно, чтобы для любой..............

Последовательность, для которой выполняется признак Коши – фундаменталная

2. Критерий Вейерштрасса (монотонность последовательности)

а) неубывающие последовательности, ограниченные сверху, имеют предел.

б) не возрастающие последовательности, ограниченные снизу, имеют предел.

Доказательство(а):

Переход к пределу в неравенстве

Теорема: Пусть f(х) и (х) имеют конечные пределы в т. y=a, тогда справедливо:

Доказательство:

1. Пусть , тогда по общему свойству №6

,

а это противоречит 1

Замечание:

1. Из утверждения №3 следует, что предел неотрицательной ф-ии является неотрицательным.

2. При пределов к противоположным можно обе части умножать на (-1).

Теорема 2(о двух миллиционерах ) Пусть в некоторой области Д выполняется система неравенств и а – предел точки.

Пусть существуют равные пределы ,

тогда существует .

Доказательство:

Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

3. Покажем, что

4. Докажем, что

5. Последнее утверждение:

Второй замечательный предел

Понятие касательной к прямой.

Прямая, проходящая через две точки кривой – секущая.

Предельное положение секущей, которое она занимает при стремлении т. М к т. М₀ называется касательной к кривой в т. М₀

Бесконечные пределы ф-ии.

Если в общем определении предела через окрестности положить в качестве А бесконечно удаленную точку, то получим определение бесконечного предела.

Так как различают три вида бесконечно удаленных точек, то существуют три определения:

1.

2.

3.

Понятие непрерывности ф-ии.

Непрерывность – такое свойство ф-ии, как отсутствие точек разрыва у графиков этой ф-ии. Т.е. строится единственной непрерывной линией.

График непрерывной ф-ии ; График ф-ии, разрывной в т. С;

1.Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если предел в данной точке совпадает со значением ф-ии в этой же точке

2.

3. Разность -приращение аргумента в точке х₀

4. Разность - приращение ф-ии в точке х₀ вызывает приращение аргумента

5. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если бесконечно малому аргументу соответствует бесконечно малое значение ф-ии в точке х₀ .

Общие свойства ф-ии, непрерывной в точке.

Представим ф-ию с помощью бесконечно малых

1.

2.Пусть ф-ия непрерывна в точке х₀ и ее значение в этой точке отлично от нуля, то существует целая окрестность х₀, в которой ф-ия не равна нулю и сохраняет знак f(x₀)

sign(х)(сигнум)

Доказательство:

а)

б)

Из а) и б) следует:

Непрерывность и арифметические операции

Пусть и непрерывна в т. х₀ , тогда справедливо:

1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х₀;

- непрерывна в точке х₀

2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х₀

- непрерывна в точке х₀

3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля, т.е. если знаменатель 0.

Доказательство:

Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:

Доказательство:

А).

Б).

из А) и Б) следует:

Sl.

Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть - непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда справедливо:

1. *****

2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия .

3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

1. **********

2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg , следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических операций, взятых в конечном числе,********

Характеристика точек разрыва ф-ии.

1. Точка устранимого разрыва.

D(f) т. х₀ называется точкой устранимого разрыва ф-ии , если она не определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой точке равным пределом.

2. Точка разрыва первого рода.

D(f)х₀ – точка разрыва первого рода, если существует конечный левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.

Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х₀

3. Точка разрыва второго рода.

*********************************

Односторонняя непрерывность ф-ии.

1. Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

2. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

3. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Например:

- исследуем предел ф-ии справа и слева:

ф-ия непрепывна в точке х=0.

Для непрерывности в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке (a,b), если она непрерывна на интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. – слева.

Т₁: Ф-ия , непрерывная на (a,b), ограничена на этом отрезке.

- непрерывная на (a,b)

D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке (a,b), если существует такое число .

D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на (a,b), если

Т₂ : ф-ия , непрерывная на (a,b),имеет на (a,b) наибольшее и наименьшее значения.

Т_{3 :} *************

Sl₁ : (f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок

Sl₂ (Т₃): ф-ия, непрерывная на отрезке (a,b), имеющая различные по знаку значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной точке этого отрезка.

*******************************************

Дифференциальное счисление.

Ф-ия одной переменной.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.

Пусть точка движется вдоль прямой х.

****************************************** - l-единичный вектор, задающий направление вдоль прямой.

3.2 Построение касательной к кривой с уравнением в т. х₀ .

********************

Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

Определение призводной ф-ии в точке.

Обозначение:

Df1 Производной ф-ии в т. х называют предел отношения приращения ф-ии в этой т. к приращению аргумента, при стремлении по