Скачать

Исследование законов предельной производительности

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как "черный ящик", на вход которого поступают ресурсы R₁, ..., R_n, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х₁, ...Х_м.

В качестве ресурсов (факторов производства) на макро уровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск и обозначать Х, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.

Выбор того или иного состава К определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.

Производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянно в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Далее К будем называть фондами.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ

X=F(K, L),

т.е. выпуск (продукция) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.

В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

X K ^a1 L ^a2

X₀ K₀ L₀

(1)

Где Х₀, К₀, L₀ - значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма (1) легко приводится к первоначальному виду

Х₀

Х= K^a1 L^a2 = AK^a1L^a2

К₀^a1 L₀^a2

Х₀

Таким образом, коэффициент А = получает естественную

К₀^a1 L₀^a2

интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.

Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через X, K, L, то ПФ в форме (1)записывается так:

X=K^a1 L^a2 (2)

Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ (2) .Напомним, что эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:

Х Х

- фондоотдача, - производительность труда.

К L

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ "ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ"

Хотя предмет микроэкономической теории производства иной - проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассуждений здесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим потребление, соответствуют и изокванты, описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривых безразличия и приближенных вычисления по методу численного дифференцирования, составленных для исследования потребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для анализа производства.

Начнем с того, что определим производственную деятельность как процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различные ресурсы - вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную, ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкой микроэкономической теории производства является идея о том, что технологически эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов Х₁, Х₂, может быть описана с помощью производственной функции Y=F(X₁, X₂). Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости (Х₁, Х₂) все возможные сочетания необходимых ресурсов (Х₁, Х₂), мы получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности и кривых безразличия, можно выделить, по крайней мере, четыре типа производственных функций и изоквант.

1. Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,

Y=a₁X₁+a₂X₂

2. Неоклассическая производственная функция, например,

Y=X₁^a1X₂^a2, a₁+a₂<=1

3. Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,

4. Функции смешанного типа, например,

Y=y₁+y₂ : X_i=>a_iy₁+b_iy₂, i=1,2.

Не трудно заметить, что формы этих функций полностью совпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления и теории производства соответствует понятие предельной производительности (dY/dX_i), которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения, потребительских благ в теории производства сформулировонны как закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его предельная производительность, dY/dX₁ или dY/dX₂ , падает. Если представить этот факт в виде формулы, то мы получим:

d²Y/dX_i²<0 , i=1,2.

Предельная норма замещения (MRS) ресурсов - это предельное отношение замены первого ресурса вторым, - dX₂/dX₁, в ситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на - dX₁ компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX₂. Подобно теории потребления, это отношение равно отношению частных производных проиизводственной функции, т.е. предельных производительностей ресурсов:

dX₂ dY/dX₁

MRS = - Y = const =

dX₁ dY/dX₂

Изокванты неоклассической функции, так-же как и кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещения ресурсов постепенно убывает.

ОПИСАНИЕ и СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ

Составим программу (MARG2), позволяющую при фиксированном значении производственной функции Y = F(X₁, X₂) вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции возьмем функцию Кобба-Дугласа:

Y = X₁^3/4 X₂^1/4.

Список переменных:

X1 = X₁; X2 = X₂ ;

MR = MRS - предельная норма замещения;

D1 = dY/dX₁ ; D2 = dY/dX₂;

H - шаг дифференцирования (h).

Производственная функця Кобба-Дугласа - самая извесная из всех производственных функций неклассического типа - была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В эту программу включена производственная функция, оценненая Дуглосом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y - индекс производства, X₁ и X₂ - соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Если считать, что Х₁ и Х₂ - это затраты труда и капитала, то используя производственную функцию Кобба - Дугласа Y = AX₁^aX₂^1a(0

Предельная производительность труда: dY/dX₁ = aA(X₂/X₁)^a-1.

Предельная производительность капитала: dY/dY₂ = (1 - a) A (X₁/X₂)^a

dY/dX₁ a X₂

Предельная норма замещения: MRS = = *

dY/dX₂ 1-a X₁

В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате) , а предельная производительность капитала - цене услуг капитальных благ (рентным платежам).

Предпосылкой для токого вывода является то, что предприятия составляют свои производственные планы (Y, X₁ , X₂), руководствуясь прежде всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q₁ и q₂ соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственным планом для предприятия будет решение (Y^* , X₁^* , X₂^*) задачи максимизации прибыли П = pY - q₁X₁ - q₂X₂ при ограничении Y = F (X₁ , X₂). Выполнив необходимые подстановки, имеем П = pF(X₁ , X₂) - q₁X₁ - q₂X₂. Продифференцировав это варажение по каждому из факторов производства, получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу.

Иными словами, поскольку

dП/dX₁ = p * dF/dX₁ - q₁ = 0,

dП/dX₂ = p * dF/dX₂ - q₂ = 0,

то сократив р, убеждаемся, что

dF / dX₁ q₁

=

dF / dX₂ q₂

100 ' предельные вычисления 2 (MARG2)

110 CLR:PRINT "предельная норма замещения ресурсов производства"

120 DEF FN F(X1,X2)=X1^.75*X2^.25

130 PRINT" Y = X1^0.75 * X2^0.25":PRINT

140 H = .001

150 INPUT "Y=";Y

160 INPUT "X1=";X1

170 X2=(Y/(X1^.75))^(1/.25)

180 PRINT "X2=";X2

190 Y=FN F(X1,X2)

200 D1=(FN F(X1+H,X2)-Y)/H

210 D2=(FN F(X1,X2+H)-Y)/H

220 MR=D1/D2

230 PRINT"------РЕЗУЛЬТАТ------

240 PRINT"dY/dX1=";D1

250 PRINT"dY/dX2=";D2

260 PRINT "MRS =";MR:PRINT

270 GOTO 160

Предельная норма замещения ресурсов производства

Y=X1^0.75 * X2^0.25

Y= 10

X1= 8

X2= 19.53125

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .9365081

dY/dX2 = .1277924

MRS = 7.328358

X1= 13

X2= 10

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .7505416

dY/dX2 = .2503164

MRS = 2.992395

X1= 12

X2= 5.787036

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .626564

dY/dX2 = .4320145

MRS = 1.450331

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

· В.А. Колемаев "Математическая экономика" Москва, ЮНИТИ 1998.

· О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных "Математические методы в экономике" Москва, ДИС 1997

· ''Математическая экономика на персональном компьютере'' под редакцией Кубонива. Москва, ''Финансы и статистика''1997