Скачать

Электростатика проводников

Предмет макроскопической электродинамики составляет изучение электромагнитных полей в пространстве, заполненном веществом. Как и всякая макроскопическая теория, электродинамика оперирует физическими величинами, усредненными по «физически бесконечно малым» элементам объема, не интересуясь микроскопическими колебаниями этих величин, связанными с молекулярным строением вещества. Так. Вместо истинного «микроскопического» значения напряженности электрического поля е рассматривается ее усредненное значение, обозначаемое .

Основные уравнения электродинамики сплошных сред получаются посредством усреднения уравнений электромагнитного поля в пустоте. Такой переход от микро- к макроскопическим уравнениям был впервые произведен Лоренцем (H.A. Lorentz, 1902).

Вид уравнений макроскопической электродинамики и смысл входящих в них величин существенно зависят от физической природы материальной среды, а также от характера изменения поля со временем. Поэтому представляется рациональным производить вывод и исследование этих уравнений для каждой категории физических объектов отдельно.

1. Электростатическое поле проводников

Как известно, в отношении электрических свойств все тела делятся на две категории - проводники и диэлектрики, причем первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическое поле вызывает в них движение зарядов - электрический ток.

Начнем с изучения постоянных электрических полей, создаваемых заряженными проводниками (электростатика проводников). Из основного свойства проводников, прежде всего, следует, что в электростатическом случае напряженность электрического поля внутри них должна быть равной нулю. Действительно, отличная от пули напряженность E привела бы к возникновению тока; между тем распространение тока в проводнике связано с диссипацией энергии и потому не может само по себе (без внешних источников энергии) поддерживаться в стационарном состоянии.

Отсюда в свою очередь следует, что все заряды в проводнике должны быть распределены по его поверхности: наличие зарядов в объеме проводника непременно привело бы к возникновению электрического поля в нем.

Задача электростатики проводников сводится к определению электрического поля в пустоте, вне проводников, и к определению распределения зарядов по поверхности проводников.

В точках, не слишком близких к поверхности тела, среднее поле E в пустоте фактически совпадает с истинным полем e. Эти две величины отличаются друг от друга лишь в непосредственной близости к телу. Точные микроскопические уравнения Максвелла в пустоте гласят:

, ,

(h - микроскопическая напряженность магнитного поля). Так как среднее магнитное поле предполагается отсутствующим, то и производная обращается в результате усреднения в нуль

, ,

т. е.  является потенциальным полем с потенциалом , связанным с напряженностью соотношением

и удовлетворяющим уравнению Лапласа

.

Граничные условия для поля Е на поверхности проводника следуют из самого уравнения . Выберем ось z по направлению нормали n к поверхности проводника в некоторой его точке. Компонента E_z поля в непосредственной близости к поверхности тела достигает очень больших значений.

Существенно, что если поверхность однородна, производные , вдоль поверхности остаются конечными, несмотря на обращение самого E_z в бесконечность. Поэтому из

следует, что  конечно. Это значит, что E_y непрерывно на поверхности. То же самое относится и к E_x, а поскольку внутри проводника вообще Е = 0, то мы приходим к выводу, что касательные компоненты внешнего поля на его поверхности должны обращаться в нуль:

E_t = 0.

Таким образом, электростатическое поле должно быть нормальным к поверхности проводника в каждой ее точке. Поскольку , то это значит, что потенциал поля должен быть постоянным вдоль всей поверхности проводника.

Нормальная к поверхности компонента поля просто связана с плотностью распределенного по поверхности заряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения , которое после усреднения принимает вид

,

где - средняя плотность заряда. В интегральном виде это уравнение означает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме. На внутренней площадке Е = 0, найдем, что , где - поверхностная плотность заряда, т. е. заряд на единице площади поверхности проводника. Таким образом, распределение зарядов по поверхности проводника дается формулой

.

Полный заряд проводника

,

где интеграл берется по всей его поверхности.

2. Энергия электростатического поля проводников

Вычислим полную энергию U электростатического поля заряженных проводников:

,

где интеграл берется по всему объему пространства вне проводников. Преобразуем этот интеграл и получим выражение:

,

аналогичное выражению для энергии системы точечных зарядов.

Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между ними существует определенная связь. Она должна быть линейной, т.е. выражаться соотношениями вида

,

где величины C_aa, C_abимеют размерность длины и зависят от формы и взаимного расположения проводников. Величины C_aa называют коэффициентами емкости, а величины C_ab- коэффициентами электростатической индукции.

Обратные выражения для потенциалов через заряды:

,

где коэффициенты  составляет матрицу, обратную матрице коэффициентов .

Вычислим изменение энергии системы проводников при бесконечно малом изменении их зарядов или потенциалов:

.

Это выражение можно преобразовать далее двумя эквивалентными способами. Окончательно имеем:

,

т.е. получаем изменение энергии, выраженное через изменение зарядов.

С другой стороны:

,

т. е. изменение энергии выражено через изменение потенциалов проводников.

Эти формулы показывают, что, дифференцируя энергию U по величинам зарядов, мы получаем потенциалы проводников, а производные от U по потенциалам дают значения зарядов:

проводник электромагнитный поле выравнивание

.

С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. Имеем:

,

а изменив порядок дифференцирования. Мы получили бы . Отсюда видно, что

(и, аналогично, ). Энергия U может быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов:

.

Это квадратичная форма должна быть существенно положительной. Из этого условия возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты . В частности, все коэффициенты емкости положительны:

(а также и ).

Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны:

.

3. Проводящий эллипсоид

Задача об определении заряженного проводящего эллипсоида решается с помощью эллипсоидальных координат.

Связь эллипсоидальных координат с декартовыми дается уравнением

Это уравнение, кубическое относительно u, имеет три вещественных корня :

.

Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами точки x, y, z. Их геометрический смысл явствует из того, что поверхности постоянных значений  представляют собой соответственно эллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двухполюсные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллипсоидом

.

Формулы преобразования от эллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решения трех уравнений и имеют вид

,

,

.

Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид

,

,

где

Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть

Тогда кубическое уравнение

вырождается в квадратное

с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах

Координатные поверхности постоянных  и  превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 1). В качестве третьей координаты можно ввести полярный угол  в плоскости

.

Рис. 1

Связь координат  с координатами  дается равенствами

, .

Координаты  называются сплюснутыми сфероидальными координатами.

При a>b=с эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемые вытянутые сфероидальные координаты. Две координаты  и  задаются корнями уравнения

причем . Поверхности постоянных  и представляют собой вытянутые эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды вращения (рис. 2).

Связь координат ,  с координатами  дается формулами

, .

Рис. 2

Поверхность

в эллипсоидальных координатах – это координатная поверхность =0. Если искать потенциал поля в виде функции только от , то будут эквипотенциальными все эллипсоидальные поверхности =const, в том числе поверхность проводника. Уравнение Лапласа сводится тогда к уравнению

откуда

.

Зная, что 2А=е, заключаем:

.

Откуда

.

Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала

.

Легко убедиться в том, что при =0

.

Поэтому

.

Для двухосного эллипсоида интегралы

,

выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсоида (a>b=c) потенциал поля дается формулой

,

а его емкость

.

Для сплюснутого же эллипсоида (a=b>c) имеем

В частности, для круглого диска (a=b, с=0)

.

4. Силы, действующие на проводник

В электрическом поле на поверхность проводника действуют со стороны поля определенные силы.

Плотность потока импульса в электрическом поле в пустоте определяется известным максвелловским тензором напряжений:

Силе же, действующая на элемент df поверхности теле, есть поток «втекающего» в него извне импульса, т.е. равна . Учитывая, что у поверхности металла напряженность Е имеет только нормальную составляющую, получим

или, вводя поверхностную плотность зарядов ,

.

Таким образом, на поверхность проводника действуют силы «отрицательного давления».

Полная сила F, действующая на проводник. Получается интегрированием силы  по всей его поверхности:

Сила, действующая на проводник вдоль координатной оси q, есть , где под производной надо понимать изменение энергии при параллельном смещении данного тела как целого вдоль оси q. При этом энергия должна быть выражена через заряды проводников (источников поля), и дифференцирование производится при постоянных зарядах. Отмечая это обстоятельство индексом е, напишем

.

Для системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными. Роль механической энергии играет не U, а величина

.

Подставив сюда

,

находим, что  и  отличаются только знаком

.

Сила получается дифференцированием  по q при постоянных потенциалах, т.е.

.

Таким образом. Действующие на проводник силы можно получить дифференцированием U как при постоянных зарядах, так и при постоянных дифференциалах.

Выводы

В данной работе рассмотрен предмет электростатики проводников. Проанализированы электростатическое поле проводников, энергия электростатического поля проводников, проводящий эллипсоид, силы, действующие на проводник в поле.