Скачать

Электрон в слое

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Физический

факультет

Кафедра

теоретической

физики

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Руководитель работы:

Климин С.Н.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

/ -?2/(2m)⋅∂2/∂x2 + U0 , x < -a

∧ |

H = { -?2/(2m0)⋅∂2/∂x2 , -a < x < a

|

\ -?2/(2m)⋅∂2/∂x2 + U0 , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

/ ∂2ΨI/∂x2 + 2m/?2⋅(E - U0)ΨI = 0 , x ≤ -a

|

{ ∂2ΨII/∂x2 + 2m0/?2⋅E⋅ΨI = 0 , -a ≤ x ≤ a

|

\ ∂2ΨIII/∂x2 + 2m/?2⋅(E - U0)⋅ΨI = 0 , x ≥ a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

ΨI(x) = A⋅exp(n⋅x) + B⋅exp(-n⋅x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

ΨI(x) = A⋅exp(n⋅x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

ΨII(x) = C⋅exp(i⋅k⋅x) + D⋅exp(-i⋅k⋅x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

ΨIII(x) = F⋅exp(-n⋅x).

Где

k = (2m0⋅E/?2)1/2

n = (2m⋅(U0-E)/?2)1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

1. Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
2. В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
3. Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

ΨI(x=-a) = ΨII(x=-a)

ΨII(x=a) = ΨIII(x=a)

ΨI′(x=-a)/m = ΨII′(x=-a)/m0

ΨII′(x=a)/m0 = ΨIII′(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A⋅exp(-n⋅a) = C⋅exp(-i⋅k⋅a) + D⋅exp(i⋅k⋅a)

m-1⋅A⋅ n⋅exp(-n⋅a) = i⋅k⋅/m0⋅(C⋅exp(-i⋅k⋅a) - D⋅exp(i⋅k⋅a))

C⋅exp(i⋅k⋅a) + D⋅exp(-i⋅k⋅a) = F⋅exp(-n⋅a)

i⋅k⋅/m0⋅(C⋅exp(i⋅k⋅a) - D⋅exp(-i⋅k⋅a)) = - n/m⋅F⋅exp(-n⋅a).

Теперь составим определитель :

|exp(-n⋅a) -exp(-i⋅k⋅a) -exp(i⋅k⋅a) 0 |

|m-1⋅n⋅exp(-n⋅a) -1/m0⋅i⋅k⋅exp(-i⋅k⋅a) 1/m0⋅i⋅k⋅exp(i⋅k⋅a) 0 |

|0 exp(i⋅k⋅a) exp(-i⋅k⋅a) -exp(-n⋅a) |

|0 1/m0⋅i⋅k⋅exp(i⋅k⋅a) -1/m0⋅i⋅k⋅exp(-i⋅k⋅a) 1/m⋅n⋅exp(-n⋅a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2 - (k/m0)2)⋅Sin(2⋅k⋅a) + 2⋅k⋅n/(m⋅m0)⋅Cos(2⋅k⋅a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F⋅exp(-n⋅a)⋅{exp(i⋅k⋅a) + exp(-3⋅i⋅k⋅a) ⋅( i⋅k/m0 - n/m)/(n/m + i⋅k/m0)}

D = C⋅exp(-2⋅i⋅k⋅a)⋅( i⋅k/m0 - n/m)/(n/m + i⋅k/m0)

A = exp(n⋅a)⋅(C⋅exp(-i⋅k⋅a) + D⋅exp(i⋅k⋅a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = RA⋅F

C = RC⋅F

D = RD⋅F.

RA, RC, RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

ΨI(x) = F⋅RA⋅exp(n⋅x)

ΨII(x) = F⋅( RC⋅exp(i⋅k⋅x) + RD⋅exp(-i⋅k⋅x)).

ΨIII(x) = F⋅exp(-n⋅x).

I1 + I2 + I3 = 1

Где

I1 = |F|2⋅|RA|2⋅∫Θexp(2⋅n⋅x)⋅dx = |F|2⋅|RA|2⋅(2⋅n)-1⋅exp(2⋅n⋅x) =

= |F|2⋅|RA|2⋅(2⋅n)-1⋅exp(-2⋅n⋅a)

I2 = |F|2⋅{ ∫Λ|RC|2⋅dx + ∫Λ|RD|2⋅dx + RC⋅RD*⋅∫Λexp(2⋅i⋅k⋅x)⋅dx +

+ RC*⋅RD⋅∫Λexp(-2⋅i⋅k⋅x)⋅dx } = |F|2⋅{ 2⋅a⋅(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2⋅i⋅k⋅a) - exp(-2⋅i⋅k⋅a))⋅RC⋅RD*/(2⋅i⋅k) +

+ i⋅((exp(-2⋅i⋅k⋅a) - exp(2⋅i⋅k⋅a))⋅RC*⋅RD/(2⋅k) }

I3 = |F|2⋅∫Ωexp(-2⋅n⋅x)⋅dx = |F|2⋅(2⋅n)-1⋅exp(-2⋅n⋅a)

|F|2 = { |RA|2⋅(2⋅n)-1⋅exp(-2⋅n⋅a) + 2⋅a⋅(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2⋅i⋅k⋅a) - exp(-2⋅i⋅k⋅a))⋅RC⋅RD*/(2⋅i⋅k) +

+ i⋅((exp(-2⋅i⋅k⋅a) - exp(2⋅i⋅k⋅a))⋅RC*⋅RD/(2⋅k) + (2⋅n)-1⋅exp(-2⋅n⋅a) }-1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

∂2Ψ/∂x2 + 2m/?2⋅(E - U0)Ψ = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

ρ = exp(i 2ak)

Тогда Ψ(x+2ma) = Ψ(x)⋅ρm , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

∂2ΨI/∂x2 + 2m2/?2⋅(E - U0)ΨI = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

ΨI(x) = A⋅exp(n⋅x) + B⋅exp(-n⋅x).

Где n = (2m2 (U0-E) /?2)1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

∂2ΨII/∂x2 + 2m1/?2⋅E ΨII = 0 , a ≥ x ≥ 0

его решение выглядит просто:

ΨII(x) = C⋅exp(i⋅p⋅x) + D⋅exp(-i⋅p⋅x).

Где p = (2m1E/?2)1/2

Рассмотрим область III:

∂2ΨIII/∂x2 + 2m2/?2⋅(E - U0)ΨIII = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

ΨIII(x) = ρ (A⋅exp(n⋅x) + B⋅exp(-n⋅x)).

Запишем граничные условия:

ΨI(x=0) = ΨII(x=0)

ΨII(x=a) = ΨIII(x=a)

ΨI′(x=0)/m = ΨII′(x=0)/m0

ΨII′(x=a)/m0 = ΨIII′(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |

|exp(i⋅k⋅2a+n⋅a) exp(i⋅k⋅2a-n⋅a) -exp(i⋅p⋅a) -exp(-i⋅p⋅a) |

|n/m2 -n/m2 -i⋅p/m1 i⋅p/m1 |

|n/m2exp(i⋅k⋅2a+n⋅a) -n/m2⋅exp(i⋅k⋅2a-n⋅a) - i⋅p/m1⋅exp(i⋅p⋅a) i⋅p/m1⋅exp(-i⋅p⋅a) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m1=4; m2=1

a=10 U=10 m1=2 m2=1

a=10 U=10 m1=1 m2=1

a=10 U=10 m1=0.5 m2=1

a=10 U=10 m1=.25 m2=1