Скачать

Экономическая кибернетика

Эк. Кибернетика.

Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.

Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.

Решение игры – это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. нахождение цены игры.

Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая в среднем (настрив. на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.

Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др. стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу др.

Матричные игры.

- самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая.

Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст. Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила определяют победителя.

Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один игрок примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим стратегии.

Первонач сведен по т. вероятности.

Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти в данной ситуации.

Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.

P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).

М(х)=å_i х_ip_i– матем. ожидание.

D(x)=å_i х²_ip_i – (M(x))² –дисперсия.

(x)=ÖD(x) – средне квадратичное отклонение – показывает степень разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.

Правило 3 сигм (s):

PíM(x)-3(x)(x)ý= 0,997

÷Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с концами матем. ожидания -3s(х) и +3s(х) равняется 0,997.

Многоуголь. распределение – ломанная линия соед-я последовательно точки с коор-ми (х_i;p_i).

Смешанные стратегии.

- распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение обычной стратегии.

Чистая стратегия – это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.

Теорема Неймана:Любая матричная игра имеет оптимальное решение возможно среди смешанных стратегий.

Стратегия А_iактивная первого игрока – если вероятность исполь-я в оптим стратегии больше нуля (А_i-акт, если р^*_i>0); S^*_A- оптим стратегия.

Стратегия В_j активная второго игрока –если вероятность исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (B_i-акт, если q^*_i>0); S^*_B - оптим стратегия.

Неактивная стратегия – вероятность применения, которой в оптим стратегии равна нулю.

Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.

Теорема:В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое.

Применение решений в усл. неопределенности.

Рассмотрим игру человек и природа. Человек – лицо принимающее решение. Природа – экон-я среда в состоянии рынка.

Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел, он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.

Подход определяется склонностью чел к риску.

Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-е затраты.

Элементы матрицы – это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы.

1) Подход махмах “оптимистический”:В каж точке мы находим макс элемент и после этого находим макс из полученных чисел. g_i=max_j a_ijÞg=max_ig_i=g_i0Þ выб А_i0.

Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не обращ внимание на возмож неудачи.

2) Критерий Вальда – критерий пессимизма:Находим в каж строчке миним элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.

a_i=min_j a_ijÞa=max_i a_i=a_i Þ выб А_i0.

3)Критерий Гурвица (l) – ур пессимизма:Человек выбирает 0£l£1. Находим число a_i=la_i+(1-l)g_i Þa_maxia_i=a_i0 Þвыб А_i0. Если l=1 – кр Вальда (пессимизма), если l=0 – кр оптимизма. Конкретная величина l опред-ся эк-ой ситуацией.

4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска:Состав март риска по формуле r_ij=_j-а_ij. b_ij=max a_ij Þ r_ij=b_j-a_ij.

R=(r_ij) –матр риска; r_i=max_j r_ijÞ min_i r_i=r_i0 Þ выб А_i0.

Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го решения: r_ij=0 (если П_j) Þ А_i. Риск = величине упущенной возможности.

У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.

Принятие решения в усл риска.

Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории вероятности.

Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.

1) М(A_i)=ⁿå_j=1a_ijp_j Находим макс max_i M(A_i)

2) Правило минималь среднего риска. R=(A_i)=ⁿå_j=1r_ijp_j. Находим наимень min_i R(A_i).

Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и той же оптим стратегии.

Док-во: Найдем миним сред риска min_i R(A_i)= min_iå_jr_ijp_j= min_i(å_j(b_j-а_ij)p_j)= min_i(å_jb_j p_j-å_jа_ijp_j)={å_jb_j p_j – не зависит от переменной i, значит это const С}= min_i(С-å_jа_ijp_j)Þ минимум разности соот-ет максимуму вычитаемого.

max_i å_jа_ijp_j=M(A_i).

Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.

Бейссовский подход нахождения оптимального решения.

Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход `Q<sup>`</sup>. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис от первонач `Q<sup>`</sup>и нового `Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'