Скачать

Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи формування математичних понять

1.1. Поняття, як логіко-гносеологічна категорія

1.2. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця

1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення

1.4. Зміст і об’єм поняття. Зв'язок між ними

1.5. Види понять

1.6. Зв'язок між поняттями

1.7. Означення понять

1.8. Способи означення понять

1.9. Види означень

1.10. Структура означення

1.11. Основні вимоги до означень

Розділ 2. Основні етапи розкриття змісту математичного об’єкта (формування означення)

2.1. Логічний аналіз структури означення (виділення терміна, роду, видових відмінностей і логічний зв'язок властивостей

2.2. Виконання дії підведення під поняття

2.3. Виконання дії виведення наслідків

2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання

Висновки

Список використаних джерел

ВСТУП

Актуальність дослідження. У математиці розглядаються різні об’єкти: числа, фігури, формули, рівняння та інші. Усе це математичні поняття. Щоб правильно організувати процес формування того чи іншого поняття в школі, треба насамперед чітко визначити його зміст у науці і його зміст у шкільному курсі, пам’ятаючи про те, що друге не повинне суперечити першому.

Виходячи з того в даній роботі висвітлене трактування того чи іншого поняття сучасною наукою, щоб забезпечити творчий підхід до модифікації наукового означення для шкільної практики. Поняття – це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.

Отже, можна сказати, що поняття – це цілісна сукупність суджень про який-небудь об’єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об’єкта.

Об’єкт дослідження – діяльність вчителя та учнів на уроках математики в основній школі.

Предмет дослідження – методична система (зміст, об’єм, види, способи, структура)формування математичних понять.

Мета дослідження – розробити й обґрунтувати методику формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі.

Гіпотеза дослідження – розроблена методика формування математичних понять у процесі викладання математики в основній школі на основі освітнього стандарту з математики сприятиме підвищенню якості загальноосвітньої, математичної, професійної підготовці учнів, розвиває інтуїцію, деякі навики мислення, тобто сприяє підвищенню їх інтелектуального рівня.

Відповідно до мети і гіпотези дослідження було визначено такі завдання роботи:

· аналіз психолого - педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження;

· розкрити загальні питання формування математичних понять;

· виявити психолого – дидактичні передумови застосування понять;

· виявити психологічні закономірності процесу формування математичних понять в учнів основної школи.

Теоретичне значення результатів дослідження полягає в розробці методики формування математичних понять (зміст, об’єм, види, способи, структура), яка враховує особливості навчальної діяльності учнів, операційний склад умінь та психолого – методичні закономірності їх вироблення.

Практичне значення результатів дослідження:

— розробленні методичні рекомендації по формуванню математичних понять;

— впроваджено методику вибору ефективних шляхів, методів та прийомів формування математичних понять.

Джерелом дослідження є наукові статті з журналів, методичні посібники та підручники з математики.

Апробація результатів: одержані результати поповнюють практичну базу методики викладання математики, а саме на тему: "Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі".

Структура роботи. Випускна робота складається з двох розділів. У першому розділі висвітлюються теоретичні основи формування математичних понять в основній школі. В другому розділі подаються основні етапи розкриття змісту математичного об’єкта.

У кінці роботи додається список використаних джерел.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ.

1.1. Поняття як логико-гносеологічна категорія

Що таке поняття? Питання здається тривіальним, оскільки в повсякденному житті, в практичній роботі і в процесі навчання і дітей, і студентів всі ми оперуємо тим або іншим терміном, не замислюючись над його змістом, тобто поняттям, що позначається їм. Співбесіди із студентами старших курсів педагогічних інститутів, з вчителями шкіл, молодими викладачами вузів показали, що більшість з них не може розкрити змісту терміну. І не дивно, оскільки ні в середній школі, ні у вищих учбових закладах в яких-небудь учбових курсах спеціально це питання не розглядається. Багато хто оперує даним терміном, вважаючи зміст його саме собою розуміючим. Насправді питання про єство поняття дуже складне. Немає ще єдиної думки серед філософів, психологів і логіків з питання про те, що ж таке поняття. Відомо більше 30 спроб дати визначення поняття. Великий угорський логік Б.Фогарши в підручнику «Логіка» приводить 34 визначення поняття. Ф.Энгельс відзначав, що поняття — це «результати, в яких узагальнюються дані... досвіду», підсумки деякого етапу пізнання.

Ряд логіків розглядає поняття як форму мислення. Наприклад, логік М.С. Строгович визначає поняття як форму мислення, що відображає і фіксує істотні ознакиречей і явищ об'єктивної дійсності. В.Ф.Асмус визначає поняття як «думку про предмет, що виділяє в ньому істотні ознаки». С.Бакрадзе визначає поняття як думку, що відображає істотні ознаки предмету. Е.К.Войшвилло відзначає, що таке визначення поняття дуже схожий з визначенням думки, тобто ознаки поняття як логічній категорії є загальними з ознаками думки. Тому розглядати це визначення як тільки те, що відображає, єство поняття невірне, і Е.К.Войшвилло дає своє визначення поняття.

По Е.К.Войшвилло, поняття є «думка, що є результатом узагальнення (і виділення) предметів або явищ того або іншого класу по більш менш істотних (а тому і загальним для цих предметів і в сукупності специфічним для них, виділяючи їх з безлічі інших предметів і явищ) ознаках».

Між філософами і логіками йде суперечка, що первинне: думка або поняття? Що є більш високою формою мислення? Одні вважають, що початкові поняття, а думки є більш високою формою мислення. Це обгрунтовується тим, що думка складається з понять, виражається через зв'язані між собою поняття. Інші, навпаки, вважають, що оскільки саме поняття утворюється в результаті думок і висновків і сам зміст понять розкривається за допомогою думок, те поняття — вища форма мислення.

У «Логічному словнику-довіднику» Н.И.Кондаков дає наступну характеристику поняття: «Вищий ступінь мислення досягається у формі поняття, яке є цілісна сукупність думок, ядром якої є думки про істотні ознаки, властивості досліджуваного об'єкту». Узагальнивши все, можна так охарактеризувати поняття. Поняття — дуже складна логічна і гносеологічна категорія. Це результат деякого етапу в розвитку наших знань про ті або інші об'єкти матеріального миру. Виникнувши, поняття вже саме стає об'єктом пізнання. Разом з тим поняття — одна з форм мислення і в цьому значенні воно виступає як знаряддя (засіб) пізнання.

Наприклад, поняття молекули, виникнувши в науці, зіграло величезну роль в пізнанні єства ряду явищ, на його основі була створена молекулярно-кінетична теорія. Це відноситься також до понять «електрон», «квант» і ін.

Мислення може протікати в різних формах: понять, думок, висновків, гіпотез і теорій. Всі вони грають величезну роль в пізнанні. Термін «поняття» звичайно застосовується для позначення уяв­ного образу деякого класу речей, процесів, відношень об'єктивної реальності або нашої свідомості. Математичні поняття відображають в нашій свідомості певні форми і відношення матеріального світу, абстраговані від їх конкретних індивідуальних властивостей.

Кожне поняття поєднує в собі клас об'єктів (речей, відношень)— обсяг цього поняття — і характеристичну властивість, притаманну всім об'єктам цього класу, і тільки їм — зміст цього поняття. Напри­клад, поняття «трикутник» поєднує в собі клас найрізноманітніших трикутників (обсяг цього поняття) і характеристичну властивість — наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів (зміст поняття); поняття «рівняння» поєднує в собі клас всяких можливих рівнянь (обсяг поняття) і характеристичну властивість — рівність, яка має одну або кілька змінних (зміст поняття.)Процес формування понять буде ефективним якщо він орієнтує учнів на узагальнення і абстрагування істотних ознак (характеристич­ної властивості) поняття, яке потрібно сформувати.

Поняття — одна з вищих форм мислення, форм віддзеркалення матеріальної дійсності. Але поняття не просте форма віддзеркалення дійсності. Воно є такою формою віддзеркалення, яка розкриває єство речей, внутрішні, корінні, визначаючі властивості предметів, їх внутрішню суперечливу природу. Тому поняття є знання істотних властивостей (сторін) предметів і явищ навколишньої дійсності, знання істотних зв'язків і відносин між ними.

По Гегелю, поняття — перш за все синонім дійсного розуміння істоти справи, а не простий вираз будь-якого загального в споглядаючих, вивчаються об'єктах. В понятті розкривається справжня природа, особливість речі (об'єкту), а не її зовнішня схожість з іншими речами (об'єктами).

Як гносеологічна категорія поняття суперечливе. Воно є єдність протилежних моментів, єдність загального і одиничного, конкретного і абстрактного. Відповідно, процес засвоєння наукових понять також дуже складний і суперечливий. Наприклад, нескінченність множини раціональних чисел, що зна­ходяться між будь-якими двома раціональними числами, не стверд­жується, а навпаки, «заперечується» конкретним сприйняттям скінченого відрізка, який вміщує цю множину.

Властивість щільності множини раціональних чисел не можна виявити за допомогою дослі­ду, вона не підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно (абстрактно-дедуктивно). Цей та багато інших прикладів підтверджують висновки наших психологів про те, що сприйняття наочного матеріалу через об'єктивні особливості цього матеріалу може відігравати не лише позитивну, а й негативну роль.

1.2. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця.

Поняття — це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.

Визначаючи поняття як одну з основних форм мислення, підкреслюють його роль та значення у пізнанні. Саме мис­лення можна тоді розглядати як оперування поняттями, оскільки перехід від чуттєвих ступенів пізнання до абстракт­ного мислення характеризується як перехід від відобра­ження світу у формі відчуттів, сприймань і уявлень до відображення його в поняттях і на їх основі,— в судженнях і інших логічних категоріях.

Отже, можна сказати, що поняття — це «цілісна сукуп­ність суджень про який-небудь об'єкт, ядром якої є су­дження, що відображають істотні ознаки об'єкта».

Поняття виникають на основі суспільної практики і є продуктом багаторічного історичного розвитку пізнаваль­ної діяльності людини. Процес пізнання здійснюється у формі чуттєвого пі­знання і в формі логічного мислення.

Уявлення відрізняються від понять тим, що вони вини­кають у нашій свідомості у вигляді наочних образів, тоді як поняття — це такі розумові утворення, які можуть та­кож відображати і недостатні органам чуття, закономірні відношення між предметами.

Поняття закріплює в системі знань зміст, загальний для всіх людей, незалежно від того, як та чи інша людина уявляє собі цей предмет. На відміну від уявлень, поняття позбавлені конкретної наочності, їх матеріальною оболонкою є слово. Поза словом-терміном поняття не можуть ні виникнути, ні існувати.

Перша відмінна риса поняття — загальність. На відміну від чуттєвого пізнання, поняття втілює в собі все ба­гатство конкретного одиничного і особливого. Чуттєві образи показують здебільшого одиничне, поняття відобра­жає загальне, що є в самій дійсності. Поняття є могутнішим засобом пізнання, ніж форми чуттєвого пізнання. Пра­вильні наукові абстракції відображають дійсність глибше, вірніше, повніше, ніж живе споглядання.

Форма і зміст поняття як протилежності складають єдине ціле. Логічна форма — це певний спосіб відображен­ня предметів, відображення однотипних зв'язків і відно­шень між предметами. Вона взагалі як структура думки являє собою завжди відношення в думках між протилеж­ностями, тобто між окремим, особливим ізагальним, у ло­гічній формі поняття, судження і умовиводи мають різний характер. У формі поняття являє собою співвідношення між змістом і об'ємом поняття. В формі судження — це відношення між предметом думки і ознакою цього предмета. У формі умовиводу — це також відношення між предметом думки і його ознакою.

Коли за змістом поняття відображає суть того чи іншого конкретного предмета або групи предметів, то за своєю формою воно відображає дещо загальне, єдине для різних предметів і їх груп.

Поняття утворюється в результаті абстрагування від індивідуальних властивостей предмета, воно відображає сукупність істотних ознак предмета.

Розглядаючи множину об'єктів, які мають певні спільні ознаки, ми відкидаємо в уяві ті ознаки, які належать окре­мим, але не всім об'єктам даної множини, і фіксуємо ті спільні ознаки, які характерні всім об'єктам даної множини. Ця сукупність спільних ознак, які відбивають при­роду та істотні властивості предметів, визначає поняття. Наприклад, щоб утворити поняття функції, треба абстра­гуватися від різних конкретних залежностей, що існують у дійсності, і вибрати те спільне, що їх об'єднує, а саме: ту відповідність між двома множинами, при якій кожному елементу однієї множини відповідає один єдиний елемент другої множини.

Істотну роль у формуванні поняття відіграє мова. Поняття позначається словом, проте слово, що означає поняття, зв'язане з чуттєвим досвідом, в якому людина ознайомлюється з самими предметами, що включаються в дане поняття.

У понятті можуть відображатися і недоступні органам чуття властивості і відношення між предметами.

Можна, наприклад, мати поняття про велику кількість операцій, що виконує електронна лічильна машина за се­кунду, але не уявляти собі швидкості її роботи.

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові понят­тя), а на базі вже раніше встановлених понять.

Оволодіння будь-якою наукою немислиме без опану­вання системи понять цієї науки. Це великою мірою сто­сується математики.

Найважливішим завданням викладання математики є формування в учнів правильних математичних понять.

1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення.

Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття й усвідомлення його неістотних властивостей, а також на застосування нового поняття до розв’язування задач. До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).

У разі використання абстрактно – дедуктивного методу навчання для формування нового поняття вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належить до цього поняття, виявляє істотні спільні властивості та зазначає неістотні. Наприклад, запроваджуючи поняття «тотожно рівні вирази» в 7 класі, вчитель має сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад, вирази 3(x + y) і 3x + 3y, ab + 16c і 16c+ ab - тотожно рівні. Вирази 2x + y і 2xy – нетотожно рівні. Істотною спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Неістотними ознаками є кількість змінних, які містить вираз, форма виразів.

Наприклад, вираз 5(b+c) має форму добутку, а тотожно рівний йому вираз 5b+5c має форму двочлена; тотожно рівні вирази ab + 16c і 16c+ ab різняться місцем одночленів, що не є істотним.

Труднощі засвоєння понять учнями, які мають слабку підготовку, пояснюються передусім невмінням виокремлювати істотні властивості об’єктів і абстрагуватись від неістотних. У зв’язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення, інакше кажучи, генералізацію неістотних властивостей (надання їм ролі істотних).Істотними для них стають яскраві властивості, які виявляються саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно.

1.4. Зміст і об'єм поняття. Зв'язок між ними.

Під змістом поняття ми розуміємо сукупність усіх істотних ознак, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття. Вчителю ці характеристики поняття потрібно добре знати, щоб судити, як воно засвоєно, яким воно повинне бути.

Слід зазначити, що одні й ті самі ознаки одного й того самого предмета є в одному випадку істотними, а в іншому — неістотними. Все залежить від конкретного співвідношення зв'язків самого предмета і тих його ознак, які в практич­ному відношенні вважаються істотними.

Об'єм поняття — це сукупність усіх предметів, що охоп­люються ним. Наприклад, до об'єму поняття «дійсні чис­ла» входять множини раціональних і ірраціональних чисел.

Зміст і об'єм поняття тісно зв'язані між собою і зале­жать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його об'єм і навпаки — зменшення змісту поняття збільшує його об'єм.

Наприклад, в об'єм поняття паралелограм входять всі види паралелограмів; зміст цього поняття становлять ознаки: «чотирикутник» і «попарна паралельність несуміжних сторін». Коли до цих істотних ознак додати ознаку «конгруентність усіх кутів зазначеної фігури», то об'єм поняття зменшиться, тепер до нього вхо­дить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Відношення об'ємів двох зазначених понять можна графічно подати у вигля­ді кругів Ейлера (мал. 1).

Точки кожного круга зображають об'єкти класу, що належать даному по­няттю. Великий круг зображає поняття «паралелограм», менший— поняття «пря­мокутник».

Розподіл об'єму поняття. Певному родовому поняттю, як правило, відповідають не одне видове поняття, а дещо. Так, поняттю «елементарні частинки» відповідають: електрон, нейтрон, фотон, позитрон, протон і т. д.; поняттю «листяні дерева» — береза, клен, дуб, ясен, осика і т. д.; поняттю «планети» — Земля, марс, Юпітер і т.д.

Розумова операція, в результаті якої розкривається об'єм родового поняття, тобто визначаються його види, називається в логіці розподілом об'єму поняття. Поняття, об'єм якого ділиться, називається діленим, а поняття, що виходять в результаті розподіли, називаються членами розподілу. Розподіл об'єму поняття проводиться не довільно, а на основі якої-небудь ознаки, властивої родовому і видовим поняттям. Ознака, по якій проводиться розподіл об'єму родового поняття на види, називається підставою розподілу.

Розподіл об'єму поняття необхідно проводити на основі істотних ознак. Залежно від підстави розподілу родові поняття можуть мити розділені на абсолютно різні види.

При здійсненні операції розподілу об'єму поняття необхідно слідувати певним правилам:

1. Члени розподілу (видові поняття) повинні виключати один одного, тобто кожний предмет входить в об'єм тільки одного видового поняття.

2. При одному і тому ж розподілі потрібно користуватися однією підставою розподілу.

Наприклад, родове поняття «робітник» по підставі «професія» ділиться на наступні види: «слюсар», «токар», «коваль» і т. д., а по ознаці «освіта» — що «закінчив 10 класів», що «закінчив 8 класів» і т.д.

Будь-яке поняття можна розділити по різних підставах, але у кожному окремому випадку розподіли поняття повинна витримуватися одна ознака як підстава розподілу.

Приклади розподілу по різних ознаках поняття «число»:

 1) позитивне і негативне;

 2) ціле і дробове;

 3) просте і складове;

4) іменоване і відвернуте;

5) парне і непарне;

6) раціональне і ірраціональне;

7) уявне і дійсне.

Вибір тієї або іншої підстави в кожному розподілі визначається цілями, які ставить людина в процесі вивчення предметів матеріального миру. В учбовій практиці досить часто допускається розподіл відразу по декількох підставах. Так, учні (а деколи і самі вчителі), перераховуючи види руху, називають: вертикальний рух, вільний рух, прямолінійний, криволінійний і т. д., а перераховуючи на уроках геометрії трикутники, розташовують в один ряд: рівнобедрені, гострокутні, прямокутні, подібні.

3.      Члени розподілу (видові поняття) повинні бути найближчими видовими поняттями даного родового, інакше кажучи, розподіл повинен бути безперервним, не перескакувати через види, а переходити від роду до його найближчих видів.

Наприклад, до листяних дерев відносяться береза, дуб, липа, осика і т.д. Але не можна говорити, що ліс буває листяна, змішана, берези, осики, сосни і т.д. невірний розподіл типу: «Тварини — кішка, собака, верблюд, слон, бегемот і т.д.». Вірно: «Тварини — хижі і нехижі, дикі і домашні і т. д.».

Порушення цього правила називається стрибком в розподілі. Прикладом подібної помилки є наступний розподіл:

«Небесне тіло — зірка, планета, Земля». «Небесне тіло» не є найближчим родом для поняття «Земля». Для поняття «Земля» найближчий рід — «Планета». Відношення об'ємів даних понять можна зобразити схемою, представленою на мал. 2.

4. Розподіл повинен бути відповідним, тобто сума об'ємів видових понять повинна дорівнювати об'єму діленого родового поняття. При порушенні цього правила припускається двох помилки: помилка вузького розподілу об'єму поняття і помилка широкого розподілу об'єму поняття. Розкриємо зміст цих помилок докладніше:

а) вузький розподіл об'єму поняття. Суть цієї помилки в тому, що при розподілі родового поняття перераховуються не всі види, що входять в його об'єм, тобто сума об'ємів видових понять менше об'єму діленого поняття. Наприклад, перераховуючи основні характеристики елементарних частинок, називають тільки заряд і спин. Перераховуючи види газових розрядів, називають тільки іскровою, дуговий і коронний, але не указують тліючий розряд. В поняття внутрішньої енергії учні включають тільки кінетичну і потенційну, енергію взаємодії молекул (не включають енергію зв'язку електронних оболонок, внутріядерну, енергію гравітаційної взаємодії частинок і ін.);

б) широкий розподіл об'єму поняття. При широкому розподілі вводять такі види, які не містяться в об'ємі діленого поняття, тобто сума об'ємів видових понять більше об'єму родового поняття. Наприклад, перераховуючи основні одиниці вимірювання фізичних величин в системі СІ в механіці, учень назвав метр, кілограм, ампер, ньютон, джоуль і секунду. Але ампер, ньютон і джоуль не містяться в об'ємі вказаного поняття. Ампер — одна з основних одиниць вимірювання в системі СІ, але не в механіці, а джоуль і ньютон — похідні одиниці. З погляду операції порівняння всі поняття в логіці справ» на порівнянні і незрівнянні. Порівнянними називаються поняття, що мають яку-небудь загальну ознаку. Загальним біля порівнянних понять є родове поняття (родова ознака), в об'єм якого вони входять.

Незрівнянними називаються поняття, які неможливо порівняти ні за об'ємом, ні за змістом. Незрівнянні поняття: не мають загального роду, і їх зміст істотно різний. Наприклад: «стіл» і «верблюд», «соловей» і «олівець».

Разом з тим необхідно відзначити: не можна вважати, що існують незрівнянні поняття взагалі. Як би два поняття не були різними і за змістом, і за об'ємом, вони можуть бути порівнянні. Як вже було сказано вище, кожне поняття пов'язано зі всіма іншими.

По характеру відносин порівнянні поняття діляться на дві; групи: сумісні і несумісні.

Сумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака).

 Їх видові ознаки співпадають частково або повністю. Звідси витікає, що об'єми сумісних понять можуть співпадати частково.

1.5. Види понять.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

 2)означувані;

3) поняття, які вводяться описуванням, на прикладах.

 В останньому випадку учні частково дістають уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не формулюється з дидактичних міркувань. Розглянемо особливості методики формування трьох основних видів понять.

Первісні поняття. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за допомогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» - для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реальних існуючих об'єктів довкілля.

Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.

Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і b перетинаються в точці С», або «точка С є точкою перетину прямих а і b».

Учні мають усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв'язати кілька вправ на підведення до цього поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної (Мал.3).

Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а будь – яка точка відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.

Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і D цього кола. Учні мають уміти обґрунтовувати неправильність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття.

Означувані поняття. У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, багаточлен, степінь багаточлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.

Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.

Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в означення, характер їх зв'язку (кон'юнктивний, диз'юнктивний чи обидва одночасно). При цьому не обов'язково вводити термінологію логіки, важливо пояснити роль сполучників.

Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема.

Потрібно показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час розгляду поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками слід пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Поняття, що вводяться описово.Значна кількість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5 —6 класів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Низка понять вводиться описово, на прикладах і в систематичних курсах алгебри, геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри на кількох прикладах запроваджується поняття одночлена і його стандартного вигляду. При цьому увагу звертають на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних та їхніх степенів, тобто фактично розкривають істотну властивість одночленів. Розглядаючи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише рисунками фігур, запропонованих у підручнику.

 Потрібно показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл, наприклад трикутників, виготовлених з дроту, і плоских трикутників, вирізаних з паперу або картону, кола, круга, паралелепіпеда, кулі. Слід звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля — ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню їхніх властивостей у подальшому вивченні курсу геометрії.

У процесі формування математичних понять учні припускаються помилок, самостійно виявляючи істотні властивості у разі формування поняття конкретно-індуктивним методом і формулюючи означення, якщо їх уже введено. При цьому учні часто не помічають деяких істотних властивостей або умов, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття.

Найефективніше названі помилки виправляти за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити істотні властивості понять, а й міцніше запам'ятати їх.

Наведемо приклад застосування контрприкладів для виправлення помилок учнів під час формулювання вже наведених раніше означень понять.

На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди. Під час повторення вивченого було допущено помилку в означенні. При цьому «діалог» учителя з учнем може бути таким.

Учень. Хорда — це лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить хвилясту лінію, що з'єднує дві точка кола.

Учень. Хорда — це пряма лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить січну, що проходить через центр кола.

Учень. Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола.

Рівнозначні поняття. Відношення рівнозначності (або тотожність) утворюється між поняттями, що відображають один і той же предмет, його зв'язки.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, що є загальними для класу предметів, з іншою специфічні, характерні для даного предмету. Загальні ознаки, як вже мовилося, є родовими ознаками, специфічні — видовими. Родова ознака в даному випадку як би зв'язуюча ланка між видовими поняттями.

У видових ознаках тотожних понять відображаються різні сторони одного і того ж предмету або явища. Значить, видові ознаки цих понять не виключають, а доповнюють один одного. Звідси витікає, що об'єми тотожних понять співпадають.

Виходячи зі всього сказаного можна дати наступне визначення рівнозначних (тотожних) понять.

Рівнозначні поняття — це сумісні поняття про один і той же предмет і відмінні по видових ознаках, що характеризують різні сторони даного предмету:

Дуже важливо уміло користуватися рівнозначними поняттями в практичній діяльності. Уміле їх використовування при викладі учбового матеріалу, при читанні лекцій, виступів з докладом робить їх цікавими за формою і змістом, не стомлює одноманітністю. Цьому умінню потрібно навчати дітей з найперших днів в школі.

Необхідно звернути увагу на помилки, що припускається деколи, при операції рівнозначними поняттями. Так, часто учні ототожнюють абсолютно нерівнозначні поняття. Наприклад, па уроках математики помилково ототожнюються такі поняття, як «круг» і «коло», «додати нуль» і «приписати нуль»; на уроках хімії ототожнюються такі поняття, як безбарвний» і «прозорий», «безбарвний» і «білий»; на уроках фізики часто спостерігається ототожнення понять «сила тяжкості» і «вага тіла», «сила тиску» і «тиск», «сила» і «енергія» «сила» і «потужність».

Поняття, що перехрещуються (відношення перетину). Поняттями, що перехрещуються, називаються видові поняття, що мають загальний рід, а видові ознаки кожного з них відображають як специфічні, так і частково загальні сторони (властивості) предметів і явищ.

Частковий збіг видових ознак понять, що перехрещуються, обумовлює частковий збіг їх об'ємів. Таким чином, на відміну від рівнозначних понять, де видові ознаки не пов'язані один з одним і відображають різні сторони предмету, в поняттях, що перехрещуються, видові ознаки частково співпадають. Приклади понять, що перехрещуються: що «вчиться» і «спортсмен», «інженер» і «винахідник». В приведених прикладах загальним родовим поняттям є «людина». Частина видових ознак поняття що «вчиться входить в зміст поняття «спортсмен»— деякі спортсмени можуть бути тими, що вчаться, але не обов'язково все, і, навпаки, частина видових ознак поняття «спортсмен» складає певну частку змісту поняття що «вчиться» — деякі учні можуть бути спортсменами. Співвідношення понять «інженер» і «винахідник» таке ж. Значить, об'єми цих понять частково співпадають. Наочно це відношення зображається за допомогою двох кругів, що перехрещуються, як показано на мал. 4 (а, б).

Приклад понять, що перехрещуються: «рідина» і «вода». Вода може бути в рідкому, газоподібному і твердому поляганнях. Тільки частина води може знаходитися в рідкому поляганні. Так само тільки частину рідини може складати вода. Загальним родовим поняттям для даних понять є «речовина».

Утворити поняття, що перехрещуються, можна при розподілі якого-небудь родового поняття по різних підставах. Одержані видові поняття знаходитимуться відносно часткового збігу. Наприклад, поняття «людина» розділимо по двох підставах: «національність» і «колір волосся». Одержимо дві групи видових понять, що знаходяться між собою відносно часткового збігу: «російський», «українець», «грузин», «казах» і т. д.; «брюнет», «блондин» і т.д. Ці поняття не будуть рядоположными. Щодо понять, що перехрещуються, в