Скачать

Статистические индексы и их применение в анализе динамики производственных показателей и их факторов

Индексы позволяют измерять изменения сложных явлений. Например, требуется определить, насколько увеличился (или уменьшился) в данном году по сравнению с прошлым годом физический объем всей продукции предприятия. Ясно, что продукция разного качества и вида не поддается непосредственному суммирования. Для характеристики изменения таких сложных явлений во времени применяются индексы динамики.

При помощи индексов можно характеризовать изменение во времени самых различных показателей.

Индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом, но и с другой территорией, а также с нормами, прогнозами, планами и т.д.

Индексный метод позволяет решить множество задач при этом упрощаются вычисления и экономится время на произведение данных расчетов.

Теоретическая часть

1. Понятие об индексах и их значение

Слово «индекс» (лат. index) означает показатель, указатель, опись. Однако не всякий показатель является индексом. Объем товарооборота, средняя зарплата, удельный вес того или иного товара, количество товарооборота, приходящееся на 1 кв. м площади торгового зала, и т.п. – все показатели, характеризующие хозяйственную деятельность. Однако эти показатели не являются индексами.

Индекс – показатели особого рода. Прежде всего, это относительные величины, характеризующие динамику явления (выполнение плана или сравнение регионов по тем или иным к показателям). От обычных относительных величин индексы отличает то, что они характеризуют отношение сложных явлений, складывающихся под влиянием различных причин. Индексы, как правило, не ограничиваются простым показом отношения, а выявляют роль и значение отдельных условий и составных частей данного сложного явления. Например, индекс цен показывает, как изменились цены на все товары или на отдельную группу товаров, как отразилось это изменение на соотношении количества и цен отдельных товаров, как само изменение цен отразилось на товарообороте, покупательной способности рубля, степени удовлетворения покупательского спроса.

Индекс применяется также для изучения роли факторов, оказывающих влияние на изменение данного явления. Так, с помощью взаимосвязи индексов можно определить, в какой мере увеличение объема продукции зависит от роста производительности труда и в какой мере от увеличения численности рабочих.

Таким образом, индекс характеризует изменение величины сложного экономического явления, состоящего из элементов, которые непосредственно нельзя суммировать, поэтому он является более сложным и многосторонним показателем, чем относительные или средние величины.

Индексом называется относительная величина, характеризующая изменение сложных экономических явлений по времени и в пространстве и в то же время уровень планового задания и степень выполнения плана.

Элементами любого индекса являются:

а) индексируемая величина;

б) тип (форма) индекса;

в) веса индекса;

г) сроки исчисления.

В зависимости от элемента (а) возможны индекс цен, индекс физического (натурального) объема продукции, индексы производительности труда и т.д. в зависимости от типа (б) различают индексы агрегатные и индексы средние, а среди последних, смотря по форме средней, индексы средние арифметические, индексы средние гармонические, индексы средние геометрические и т.д. в зависимости от весов (в) различают индексы простые (невзвешенные) и индексы взвешенные, а среди последних – индексы с постоянными (неизменными) весами и индексы с переменными весами (в меру необходимости с течением времени перестраиваемыми). В зависимости от сроков исчисления (г) рассматриваются индексы базисные (с постоянной, неизменной во времени базой) и индексы цепные (если числовые значения индексируемой величины в каждый данный «текущий» срок сопоставляются с их значениями в предшествующий срок; иначе, индекс с переменной базой).

2. Классификация индексов

Индексы классифицируются по трем признакам:

по содержанию изучаемых объектов;

степени охвата элементов совокупности;

методам расчета общих индексов.

По содержанию изучаемых величин индексы разделяют на индексы количественных (объемных) и индексы качественных показателей.

Индексы количественных показателей – индексы физического объема промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объема розничного товарооборота, национального дохода, потребления продаж иностранной валюты и др. В се индексируемые показатели этих индексов являются объемными, поскольку они характеризуют общий, суммарный размер (объем) того или иного являения и выражаются абсолютными величинами. При расчете таких индексов количества оцениваются в одинаковых, сопоставимых ценах.

Индексы качественных показателей – индексы курса валюты, цен, себестоимости, производительности труда, заработной платы, урожайности и т.д. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности: цена за единицу продукции себестоимость единицы продукции и т.д. Такие показатели называются качественными. Они носят расчетный, вторичный характер. Качественные показатели измеряю не общий объем, а интенсивность и эффективность явления или процесса. Как правило, они являются либо средними, либо относительными величинами. Расчет таких индексов производится на базе одинаковых, неизменных количеств продукции.

Разделение индексов на индексы количественных и качественных показателей важно для методологии их расчета.

По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на два класса: индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения удельных элементов сложного явления.

Общий индекс отражает изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами.

По методам расчета различают индексы агрегатные и средние, исчисление, которых и составляет особый прием исследования, именуемый индексным методом.

3. Виды индексов

Индексы могут быть индивидуальными и сводными (общими).

Индивидуальный индекс – простейшая форма индекса.

Индивидуальными индексами называются относительные числа, характеризующие соотношение отдельных величин экономических явлений: цены одного товара, себестоимости одного изделия, количества какого-либо одного реализованного продукта и т.п., и обозначаются буквой i.

При расчете индексов особое внимание следует уделять базе сравнения. В индексах, характеризующих изменение явления в динамике, различают два периода: базисный и текущий (отчетный).

Базисный – это начальный период, т.е. период, с которым производится сравнение.

Текущий (отчетный) – это период, уровень которого сравнивается.

Индивидуальный индекс как относительное число получается в результате сравнения двух абсолютных уровней изучаемого явления.

Для исчисления индивидуальных индексов применяется следующие формулы.

Индивидуальный индекс цен (1;252):

,

где  - цена за единицу количества продукта в текущем или отчетном

периоде;

 - цена за единицу количества продукта в базисном периоде.

Для того чтобы показать изменение количества продаваемого продукта или выпуска продукции, употребляется индивидуальный индекс количества, или физического объема () (1;253):

,

где  - количество реализованного товара в текущем периоде;

 - количество реализованного товара в базисном периоде.

Для того чтобы определить, насколько больше было продано товара, используется индивидуальный индекс товарооборота (1;253):

.

К индивидуальным индексам относятся показатели, публикуемые в сообщениях Государственного комитета Российской Федерации по статистике о численности населения, основных показателях денежного обращения, производства металлопродукции, объема валового накопления основного капитала и т.д. таким образом, они характеризуют рост производства отдельных видов продукции, демографические изменения и т.д..

Сводные индексы подразделяются на взвешенные (агрегатные), гармонические и среднеарифметические.

Сводными индексами называются относительные числа, характеризующие соотношения между такими совокупностями величин экономических явлений, которые непосредственно в своей натуральной форме несоизмеримы.

Основной формой сводных индексов является агрегатная.

Эта форма индексов широко используется в экономико- сатистических расчетах, когда возникает необходимость провести анализ изменения цен не по одному товару, а по разнообразному ассортименту товаров, изменению объема проданного количества многих различных товаров и т.п.

Поэтому одной из важнейших проблем, возникающих при построении сводных индексов, является определение соизмерителей, то есть весов индексов, при помощи которых несоизмеримые элементы индексов приводятся к сопоставимому виду. Каждый сводный индекс состоит из двух элементов: индексируемой величины, то есть величины, которая изучается в данном индексе, и весов индекса, при помощи которых несоизмеримые показатели индекса приводятся в сопоставимый вид. Иначе говоря, веса – это одинаковые величины в числителе и знаменателе индекса.

Агрегатные формы индексов связаны между собой, что позволяет по известным двум индексам находить третий и т.д.

Так, между индексом количества и индексом цен существует определенная экономическая связь, так как и тот и другой индекс характеризует изменение фактического стоимостного товарооборота. Фактическая стоимость товаров меняется вследствие изменения цен и количества товаров.

Индекс фактического стоимостного объема товарооборота () должен равняться произведению индекса цен () на индекс количества (), так как стоимость товаров есть произведение цены на количество товаров ().

Однако произведение индекса цен на индекс объема обязательно будет равен индексу стоимостного товарооборота только при условии, что индекс цен будет взвешен по количеству отчетного периода (), и в индексах количества весами должны быть цены базисного периода (). Покажем это обязательное условие на примере (1;259):

или можно записать:

.

В различных сферах торговой деятельности количественный учет товаров не производится, поэтому использование агрегатных индексов цен и физического объема товарооборота исключается. В этих случаях используют систему гармонических индексов.

Особенность применения гармонического индекса заключается в преобразовании агрегатного индекса цен (1;261):

.

Преобразование производится следующим путем.

Из индивидуального индекса цен () можно определить

.

Заменим в знаменателе агрегатного индекса  выражение

.

Подставим полученное значение  в знаменателе формулы агрегатного индекса цен.

Таким образом, формула гармонического индекса цен будет иметь вид (1;261):

,

где  - общий стоимостной объем товарооборота отчетного

периода;

 - товарооборот отчетного периода, пересчитанный в

сопоставимые цены с прошлым периодом.

Этот результат получается при делении товарооборота по отдельным товарам на индивидуальные индексы цен (1;261):

.

Таким образом, получаем знаменатель формулы агрегатного индекса цен. Следовательно, гармонический индекс цен тождественен агрегатному индексу цен.

Для расчета индекса физического объема товарооборота при отсутствии данных о количестве реализованных товаров следует пользоваться гармоническим индексом физического объема товарооборота.

Формула гармонического индекса физического объема товарооборота принимает следующий вид (1; 262:)

.

Гармоническая форма индексов соответствует преобразованной форме агрегатных индексов (1; 262):

.

При расчете среднего изменения количества товаров используют формулу среднеарифметического индекса. В этом случае для расчета необходимы сведения о суммах товарооборота прошлого периода по каждой группе товаров () и об изменении количества каждой группы товаров. Изменение количества по каждой группе товаров, дается, как правило, в процентах, а в формулу расчета индекса необходимо включить данные индивидуального индекса количества.

Индивидуальный индекс количества в этом случае рассчитывается следующим образом: количество товаров в прошлом (базисном) периоде принимается за 100, а количество в отчетном как 100 плюс/минус процент изменения количества.

Среднее изменение количества продукции определяется путем расчета среднего индекса количества продукции по формуле (1;264):

.

Среднеарифметический индекс физического объема продукции используется в основном в плановых расчетах для определения общего прироста продукции в предстоящем периоде по сравнению с прошлым.

Аналитические индексы одни из основных типов индексных показателей. В отличие от синтетических индексов, дающих сравнительную характеристику уровней экономических явлений, индексы аналитические позволяют оценить степень изменения сложного явления воздействием изменением каждого из связанных с ним простых явлений. Система индексов аналитических состоит из: полного индекса, характеризующего изменение рассматриваемого сложного явления под воздействием всех определяющих его факторов, и частных индексов, каждый из которых отражает изменение сложного явления под воздействием изменения того или иного из определяющих его явлений – факторов. Так, индекс розничного товарооборота, отражающий совокупный результат изменения двух факторов стоимости (денежной) товаров – количества и цен, есть полный, а индексы, отражающие результат изменения стоимости под воздействием каждого из этих факторов, - частные индексы стоимости реализованных товаров по соответствующим факторам – ценам и количеству реализованных товаров.

Важнейшей предпосылкой построения системы индексов аналитических является установление формы связи между сложным явлением и определяющими его явлениями – факторами. Для построения системы индексов аналитических необходимо: а) исходя из установленной формы связи между сложными явлениями и его факторами построить полный индекс; б) последовательно элиминируя (исключая) влияние изменения всех факторов, кроме того, влияние которого на изменение сложного явления изучается, построить частные индексы всех рассматриваемых факторов.

Наибольшие трудности возникают при построении системы аналитических индексов для формы связи типа … В этом случае полный индекс имеет вид (1;26:7):

Совокупность же частных индексов может быть построена разными путями в зависимости от принятого метода элиминирования (исключения). Различают цепной метод построения частных индексов (метод цепных подстановок) и метод выявления изолированного влияния отдельных факторов. В первом случае частный индекс каждого фактора строится при элиминировании всех ранее исследованных факторов (частные индексы которых уже построены) на уровне текущего периода, а факторов. Влияние которых предстоит исследовать (частные индексы которых еще не построены) на уровне базисного построения. Этот метод приводит к множеству возможных вариантов построения частных индексов, дающих неоднозначные, а порой и противоречивые результаты. Метод выявления изолированного влияния отдельных факторов, в отличие от цепного, приводит к однозначному разложению полного индекса на частные. В этом случае частные индексы всех факторов строятся путем элиминирования изменения всех остальных факторов на уровне базисного периода. Однако здесь совокупность частных индексов, помимо индексов, отражающих влияние изолированного изменения каждого из факторов на изменение сложного явления, содержит еще индексы, отражающие результат взаимосвязанного изменения отдельных групп факторов на изменение сложного явления.

Индексы аналитические получили весьма широкое распространение в практике анализа экономических явлений и являются весьма гибким аналитическим инструментом, позволяющим расчленить изменение сложного явления на его составляющие и оценить количественно каждую из одинаково или разнонаправлено действующих сил, результатом которых является изменение рассматриваемого сложного явления.

Индексы производительности труда.

Предварительно сделаем некоторые пояснения.

Производительность труда может измеряться либо количеством продукции, вырабатываемой в единицу рабочего времени (w), либо затратами рабочего времени на единицу продукции (t). Причем эти показатели находятся в соотношении  (если работник фирмы тратит 3 часа на деталь (t=3), то в час он вырабатывает  детали.) поэтому индивидуальные индексы производительности труда можно записать как (1;268)

или

.

При построении же общего индекса, который должен отразить среднее изменение производительности труда различных работников фирмы (или в различных цехах компании), когда нельзя суммировать показатели w или t по разным продуктам, надо решить вопрос о весах или соизмерителях.

Пользуясь показателями затрат рабочего времени на единицу различной продукции в базисном и отчетном периодах ( и ), можно взять в качестве соизмерителя продукцию отчетного периода () и определить общие затраты времени на выпуск этой продукции при двух уровнях производительности труда, сопоставить их между собой, то есть в агрегатной форме индекс производительности труда выразится как (1; 269):

.

Этому индексу соответствует среднеарифметический индекс (1;269):

.

Если общие затраты рабочего времени на продукцию отчетного периода () обозначить символом T1, то приведенная выше формула среднеарифметического индекса производительности труда получит следующий вид (1; 269):

,

где  или  - индивидуальные индексы часовой, дневной или месячной производительности труда;

T1 – общие затраты рабочего времени соответственно в человеко-часах, человеко-днях и человеко-месяцах.

Относительную величину, характеризующую динамику двух средних показателей для однородной совокупности, в статистике называют индексом переменного состава. Для разных качественных показателей (в однородной совокупности) индексы переменного состава легко записать в виде отношений (1; 271):

,

,

,

,

или

.

Свое название (переменного состава) эти индексы получили потому, что средние величины, динамику которых эти индексы отражают, могут меняться за счет изменения данного индексируемого показателя у отдельных объектов (частей целого), но за счет изменения удельного веса этих частей в общей совокупности (изменение состава).

Индексы переменного состава наряду с изменением индексируемого показателя отражают влияние изменения состава (структуры) той совокупности, для которой рассчитаны средние.

Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средних величин, можно для двух периодов рассчитывать средние по одной и той же структуре, которая, как правило, фиксируется по отчетному периоду. Индекс, показывающий динамику средних при одной и той же фиксированной структуре совокупности, носит название индекса постоянного состава.

Для индекса себестоимости это фиксирование одной и той же структуры найдет отражение в следующей формуле (1; 275):

После сокращения на  этот индекс имеет вид формулы агрегатного индекса (1; 275):

В этом индексе влияние структурного фактора устранено, поэтому он определяет средний размер изменения себестоимости на все трех компаниях. Индекс постоянного состава не может выходить за пределы значений частных индексов, ибо он является средним из них.

Относительную величину, получающуюся в результате деления индекса переменного состава на индекс постоянного состава, можно условно назвать индексом структуры (1; 275):

.

Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд этих последовательных периодов, которые образуют индексные системы. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени.

В зависимости от базы сравнения индексы бывают базисными и цепными.

В системе базисных индексов сравнения уравнений индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.

Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные так и общие.

Ряды индивидуальных индексов просты по построению. Так, например, обозначим четыре последовательных периода подстрочными значениями 0, 1, 2, 3, исчисляем базисные и цепные индивидуальные индексы цен (2; 168):

базисные индексы:

;

цепные индексы:

;

Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим – произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода:

;

Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:

.

Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

4. Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ

Индексный метод не только характеризует динамику сложного явления, но и анализирует влияние на нее отдельных факторов.

Многие статистические показатели, характеризующие различные стороны общественных явлений, находятся между собой в определенной связи (часто в виде произведения). Форма взаимосвязи между такими показателями выявляется на основе теоретического анализа. Статистика характеризует эти взаимосвязи количественно.

Все соотношения в таких произведениях могут рассматриваться как факторы, определяющие значение результативного показателя.

Связь между экономическими показателями находит отражение и во взаимосвязи характеризующих их индексов, т.е., если, , то и ; а если , то и .

Поэтому многие экономические показатели тесно связаны между собой и образуют индексные системы.

Система взаимосвязанных индексов дает возможность широко применять индексный метод для изучения взаимосвязей общественных явлений, проведения факторного анализа с целью определения роли отдельных факторов (не зависимых друг от друга) на изменение сложного явления.

В отечественной статистике принята следующая практика факторного анализа: если результативный показатель можно представить как произведение объемного и качественного факторов, то, определяется влияние объемного фактора на изменение результативного показателя, качественный фактор фиксируют на уровне базисного периода; если же определяется влияние качественного показателя, то объемный фактор фиксируется на уровне отчетного периода.

По существу, любой агрегатный индекс построен по такому принципу обособленного рассмотрения влияния отдельных факторов на изменение сложного показателя.

Рассмотрим построение взаимосвязанных индексов на примере индексов цен, физического объема продукции (если речь идет об отпускных ценах промышленности) или физического объема товарооборота (если речь идет о розничных ценах) и индекса стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах).

Индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (товарообороту в фактических ценах):

Таким образом, произведение индекса цен на индекс физического объема продукции дает индекс стоимости продукции, т.е. образует индексную систему из этих трех индексов.

Аналогичную взаимосвязь между индексом затрат на производство продукции, индексом себестоимости и индексом физического объема продукции можно записать в виде следующей индексной системы (2; 173):

.

Индекс изменения общего фонда оплаты труда F в связи с изменением общей численности работающих Т и заработной платы х:

.

Индекс изменения объема продукции Q в связи с изменением численности работающих Т и уровня их выработки W:

/

К числу взаимосвязанных индексов относятся индексы переменного состава, постоянного состава и индексы структурных сдвигов. В этой системе динамика среднего показателя выступает как произведение двух индексов: индекса среднего показателя в неизменной структуре и индекса влияния изменения структуры явлений на динамику среднего показателя (2; 174):

Индексная система позволяет определить влияние отдельных факторов на формирование уровня результативного показателя, по двум известным значениям индексов найти значение третьего – неизвестного.

Рассмотренная система представляет собой двухфакторную систему (связь результативного признака с двумя факторами). Но общий признак может зависеть от трех, четырех и более факторов, т.е. связь может быть трехфакторная, четырехфакторная и т.д.

Поэтому общие индексы могут быть разложены также на три и более факторных индекса, объясняющих изменение результативного признака за счет влияния каждого фактора в отдельности.

Поскольку в действительности явления взаимосвязаны, то основной схемой следует считать последовательно-цепной анализ факторов, требующий правильного разложения факторов при построении модели результативного показателя.

На первом месте в модели следует ставить качественный фактор. Увеличение цепи факторов на один фактор каждый раз должно приводить к показателю, имеющему реальный экономический смысл.

При определении влияния первого фактора все остальные факторы сохраняются в числителе и знаменателе на уровне отчетного периода. При построении второго факторного индекса первый фактор сохраняется на уровне базисного периода, третий и все последующие – на уровне отчетного периода.

При построении третьего фактора индекса первый и второй сохраняются на уровне базисного периода, четвертый и последующие – на уровне отчетного периода и т.д.

Расчетная часть

Задание 15

Условие задачи:

Имеются следующие данные по фирме о производстве продукции и численности работников:

Определите:

1. Уровни и динамику производительности труда по каждому филиалу фирмы.

2. По двум филиалам вместе:

- индексы производительности труда переменного, постоянного состава и структурных сдвигов;

- абсолютное изменение производительности труда в целом и за счет отдельных факторов;

- абсолютное изменение выпуска продукции вследствие изменения среднесписочной численности работников, производительности труда и двух факторов вместе. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

1. а) найдем уровни производительности труда по формуле (1;323):

.

найдем уровень производительности труда филиала № 1 данной фирмы:

- в отчетном периоде:

 млн.руб. на одного работника;

- в базисном периоде:

 млн.руб. на одного работника;

найдем уровень производительности труда филиала № 2 данной фирмы:

- в отчетном периоде:

 млн.руб. на одного работника;

- в базисном периоде:

 млн.руб. на одного работника.

б) Найдем динамику производительности труда по формуле индивидуального индекса производительности труда (1;324):

.

найдем динамику производительности труда филиала № 1 данной фирмы:

найдем динамику производительности труда филиала № 2 данной фирмы:

2. По двум филиалам вместе найдем:

а) Найдем индексы производительности труда:

индекс производительности труда переменного состава по формуле (1;324):

.

индекс производительности труда постоянного состава по формуле (1;326):

индекс производительности труда структурных сдвигов по формуле (1;326):

б) Найдем абсолютное изменение производительности труда по формуле (1;327):

.

Для этого определим средний выпуск продукции для филиалов фирмы по формуле средней арифметической простой (2;24):

;

- в отчетном периоде:

;

- в базисном периоде:

.

Определим среднюю среднесписочную численность работников по формуле средней арифметической простой:

- в отчетном периоде:

;

- в базисном периоде:

.

Найдем средний уровень производительности труда для филиалов фирмы вместе по формуле (1;321):

Найдем уровень производительности труда для филиалов фирмы вместе:

- в отчетном периоде:

.

- в базисном периоде:

Отсюда получим абсолютное изменение производительности труда в целом и за счет отдельных факторов:

.

в) Найдем абсолютное изменение выпуска продукции:

Таблица 1

Данные по фирме о производстве продукции и численности работников

вследствие изменения среднесписочной численности работников по формуле (3;264):

.

.

вследствие изменения производительности труда по формуле (3;264):

.

.

вследствие изменения производительности труда и изменения среднесписочной численности работников вместе по формуле (3;264):

.

.

Аналитическая часть

Задание 1

Уровень производительности труда фирмы по первому филиалу в отчетном периоде снизился на 0,33 млн.руб. на одного человека по сравнению с базисным, в результате с уменьшения выпуска продукции на 10 млн.руб. и увеличения среднесписочной численности работников на 20 чел.

Уровень производительности труда фирмы по второму филиалу в отчетном периоде увеличился н