Скачать

Соотношение интуитивного и логического в математике

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие

великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся

результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии

с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата

философии для проведения исследований в данной области; математика же,

несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому анализу

(в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация

науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Если пытаться некоторым образом классифицировать различные науки, то неизбежно приходишь к выводу, что и математика, и философия занимают некоторое особое место в этой классификации. Необходимо замечаешь, что между ними много общего. Рассмотрим этот вопрос поподробнее.

Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделить математику и философию. Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию. В то же время эти ученые создали собственные философские учения, тесно связанные, лучше даже сказать, неотделимые от их исследований в области математики. И обратно, их математические результаты базируются на их философских взглядах и в то же время следуют из них. Такое положение продолжалось вплоть до XVII веков. Даже

фундаментальный труд Исаака Ньютона, положивший начало всему

дифференциально-интегральному исчислению и механике, был озаглавлен

"Математические начала натуральной философии". Надо сказать, что и в

дальнейшем все настоящие великие математики являлись и

мыслителями-философами. К их числу можно отнести, кроме вышеперечисленных,

Лобачевского, Римана, Брауэра, Гильберта, Пуанкаре, Геделя.

Затем философия выделяется в

отдельную область человеческого знания, причем очень специфическую

область. Если различные естественные науки имеют дело с материальными

объектами, изучая их с некоторой, вполне определенной точки зрения

(биология - с живыми организмами, физика - с пространством, временем,

телами и т. д.), общественные и социальные науки имеют дело с такими

понятиями, как государство, революция и эволюция и т. д., гуманитарные

науки - со словом, текстом, музыкой, психология имеет

дело с мозгом и поведением человека и т.д., то философия делает предметом

своего анализа обобщения частных наук. Если учесть, что каждая

частная наука как раз и характеризуется тем, что обобщает и классифицирует

знания, то философия имеет дело с более высоким, вторичным уровнем

обобщения.

То же самое можно сказать и про математику. Ни один

математический объект не встречается в реальной жизни. При этом если для

некоторых объектов, как то точка, прямая, натуральное число, мы можем

увидеть и осознать их грубую модель в природе, то для подавляющего

большинства математических понятий таких моделей нет и быть не может.

Они возникли как чисто умозрительные построения и обобщения уже построенных объектов. Парадокс состоит в том, что при всем своем отрыве от действительности они помогают познавать природу. Надо заметить, что это происходит не напрямую, а с помощью привлечения еще какой-либо науки из области естествознания, а последнее время и общественные науки стали серьезно использовать математические методы в своих исследованиях. Таким образом, математика тоже имеет дело со вторичным уровнем обобщения.

Особняком ко всем наукам стоит логика. Все науки, в том числе философия и математика) подчиняются

формально-логическим законам (иначе они теряют право называться наукой), в то же время логика - наука об наиболее общих законах мышления, поэтому ее можно рассматривать как часть философии или близкую к ней науку. Не случайно Гедель рассматривал философию прежде всего с точки зрения "науки

логики". ootnote Философия. Под ред. В.Н Лавриненко. М.,1996. С.25 В то же время логика рассматривается как часть математики, так как

логические законы могут быть отображены в формализованные языки

(логические исчисления) и исследованы с помощью математических методов.

Именно в математике обращается наибольшее внимание на логическую

строгость доказательств, и именно в связи с проблемой обоснования

математики были разработаны неклассические логики. Их создание и развитие,

в свою очередь, сильно повлияло на развитие математики, в частности,

общей алгебры, топологии, теории множеств, теории рекурсивных функций и

многих других областей математики. Ни с одной другой наукой логика не

находится в таком тесном взаимопроникновении, как с математикой и

философией. Знаменательно, что законы логики заложил Аристотель -

философ и математик.

Кроме того, и математика, и философия характеризуются одной важной особенностью, которой в такой мере не обладает ни одна другая наука. Эта особенность напрямую вытекает из того, что обе науки имеют дело со вторичным уровнем абстракции. Ни математик, ни философ не имеют возможности воспользоваться напрямую таким действенным методом познания, как практический эксперимент или опыт. Ни математику, ни философу не нужно дорогостоящее оборудование или статистические данные. Они довольствуются умозрительными экспериментами и данными других наук. Для работы им необходимо иметь только ручку и лист бумаги (или другое средство для записи мыслей и результатов). Таким образом, если чувственное познание отходит на второй план, возрастает роль логического познания. Как ни парадоксально, при этом в творческом процессе возрастает роль интуиции, озарения, которую зачастую противопоставляют логике и не всегда признают в качестве способа достижения новых результатов, представляя движение мысли как ряд непрерывных строго обоснованных логических звеньев цепи силлогизмов. Именно роли и месту интуиции и логики в математике и математическом творчестве посвящен данный реферат.

ewpage

egincenter

f

История вопроса ootnoteОсновные факты, используемые в этой части, взяты из книг (3) и (4)

ndcenter

Сейчас в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом те рассуждения, которые применялись еще сравнительно недавно и рассматривались как строгие, на нынешнем этапе уже не являются доказательствами и требуют дополнительного обоснования. Например, допускали, что непрерывная функция не может изменить знак, не проходя через нуль. Теперь это доказывают.

Первым особое внимание логической стройности рассуждений уделил Аристотель. Именно его понятие силлогизма и группа выделенных им законов (тождества, противоречия и исключенного третьего), по которым должно строится любое доказательство, надолго определили развитие логики. Группа работ Аристотеля была объединена под названием "Органон", то есть инструмент для получения истинного знания. В Новое время вопросами теории познания (в то время еще не отделившейся от логики) занимались Фрэнсис Бэкон и Рене Декарт. В частности, был поставлен вопрос о формировании исходных понятий (определений и аксиом). У Бэкона основным инструментом познания служила индукция, а у Декарта --- дедукция. Декарт, как истинный геометр, призывал допускать в качестве истинных только очевидные утверждения.

Таким образом, аксиомы постигаются интуитивно, а все остальные знания выводятся из них с помощью дедукции без пропуска логических звеньев. В "Рассуждении о методе" Декарт предлагает следующие правила познания:

1) допускать в качестве истины только такие утверждения, которые ясно и отчетливо представлены уму и не могут вызывать

никаких сомнений; 2) расчленять сложные задачи на более простые и

доступные для решения; 3) последовательно переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному; 4) не допускать пропуска звеньев в цепи логических доказательств.

Родоначальником современной математической логики явился Готфрид Лейбниц, развивший аристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных

идеях. Именно он выдвинул идею создания алфавита мыслей, или универсального языка. Если создать систему знаков для высказываний, подобную системе цифр в арифметике, и создать некую формальную комбинаторику, которая может определять истинность или ложность некоторой мысли или утверждения, то можно получить общий метод и с помощью формально логических законов получать все возможные истины или определять случаи, когда высказывание неизбежно окажется ложным.

Противоположных взглядов на математику

придерживался философ Иммануил Кант. Если, по Лейбницу, все

математические науки можно воплотить в некотором универсальном логическом исчислении, то Кант утверждал, что все математические положения могут доказываться только путем обращения к наглядному представлению, которое дается только априорными формами чувственности.

Но в прошлом веке положение начало резко меняться.

Начало этому положила геометрия Лобачевского, в которой

только один постулат (аксиома) отличался от традиционной евклидовой геометрии. Эта геометрия уже не соответствовала привычным представлениям людей, но в то же время была логически безупречна и непротиворечива. Дальнейшие работа немецкого математика Римана, создавшего систему различных геометрий, наиболее известна из которых сферическая геометрия Римана, итальянского математика Бельтрами показали, что геометрии можно строить на различных системах аксиом и получать при этом непротиворечивые теории. Математика перешла на новый уровень абстракции.

Что же послужило толчком для подобного события? Основу классической геометрии составляли пять постулатов Евклида, из которых первые четыре казались очевидными, и только пятый был достаточно сложным и казался более похожим на теорему. На протяжении почти двух тысячелетий многие математики пытались вывести его из других аксиом, но это не удавалось. Тем не менее, на геометрию смотрели как на идеал научного знания, и вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом, а имел мировоззренческий, философский характер. У Канта, например, идея единственности геометрии была органичной частью его философской системы. Иначе говоря, в то время математики рассуждали так: геометрия Евклида является великолепно выстроенным зданием, правда, в нем есть некоторая неясность, связанная с 5 постулатом, однако, в конце концов, все выясниться и неясность будет устранена.

Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата, и сразу трое человек (Н. Лобачевский, Ф. Гаусс и Я. Больяи) решают этот кризис методом построения новой геометрии. Почему же именно в этот момент произошел перелом? Вряд ли можно предполагать, что одновременно появились три гения, которых не было на протяжении многих веков.

Дело в том, что проблема пятого постулата предстала перед математиками в новом свете, уже не как досадная неясность, а как проблема,

порождающая ряд фундаментальных вопросов: как вообще должна быть построена математика? Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях? Является ли она достоверным знанием? Является ли она логически точным знанием? Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата, а были определены общим состоянием математики в тот исторический момент.

Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии. Наиболее разработана была геометрия, известны начала алгебры и тригонометрии. Но с XVII века математика начала бурно развиваться, и к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую систему знаний. Для нужд механики было создано и развивалось дифференциальное и интегральное исчисление; значительное развитие получила алгебра, появилось понятие функции; появилась теория вероятностей и теория рядов. Математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. С этим развитием появилось множество новых понятий, которые математики не могли истолковать. Например, алгебра несла с собой понятие числа. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной степени ее объектами, но что это такое, никто толком не знал до XIX века. Не было ответа даже на более общий вопрос --- что такое число? Что такое бесконечно малая величина, которая уже широко использовалась в дифференциальном и интегральном исчислениях? Как можно обосновать дифференцирование, интегрирование, суммирование рядов, то есть операции, требующие предельного перехода? Что представляет собой вероятность?

В итоге именно в XIX веке сложилась кризисная ситуация в математике.

Но трудности истолкований новых понятий еще можно было понять: то, что неясно сегодня, станет ясно завтра, когда соответствующая область получит должное развитие, когда там будет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий. Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий, и многие люди ей занимались, но решения не было. Может быть, что эта проблема устанавливала некий эталон для истолкования тогдашнего состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще. Возможно, математика не является точным знанием. В свете этих вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной задачей, а стала фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых геометрий. Параллельно на основе нового взгляда на метематику развивались и другие области.

Алгебра логики возникла в работах англичанина Джона Буля, который предложил рассматривать логику как алгебру, где переменные принимают только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал, что есть некие общие принципы мышления, что дает основания для аналогий между логикой и алгеброй. Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того, булевозначные алгебры, как оказалось, являются моделями классической теории множеств.

На этом подходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах математика Готлоба

Фреге, который осуществил дедуктивно-аксиоматическое построение логики высказываний и

логики предикатов. Он построил систему формализованной арифметики, тем

самым пытаясь обосновать идею сводимости значительной части математики к

чистой логике. Это направление получило название логицизм, который был

развит в работе "Принципы математики" англичанами Бертраном Расселом и

Альфредом Уайтхедом. В этом же направлении работали гениальные математики

Пеано (им создана знаменитая система аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции) и Гильберт, строго аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "Основания геометрии"(1889). Надо сказать, что она была достаточно далека от той геометрии, которую до сих пор преподают в школах.

Однако с углублением формализации математики начали натыкаться на различные парадоксы, связанные с определениями абстрактных понятий, из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств. Возникла

ситуация, похожая на ситуацию с евклидовой геометрией. Опять еще более

остро стали философские вопросы обоснования математики и возможности

ее построения на чисто логико-аксиоматической основе.

В 1931 году

австрийский математик Курт Гедель доказал неполноту достаточно богатых

формальных систем, что и означало, что лейбницева программа полной

формализации мышления невозможна. Иначе говоря, существуют

предложения, которые формулируются в терминах данной теории, но

недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории. Эти исследования

наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили

современное состояние математической логики. На сегодняшний день

ситуация с классической логикой повторила ситуацию с евклидовой

геометрией. Созданы и развиваются интуиционистская и конструктивная

логики, основанные на отбрасывании или замене классических

аристотелевских законов логики. Ведутся исследования в области

многозначных, релевантных и модальных логик.

Итак, можно сказать, что в ходе развития математики все большее внимание уделялось строгости логики. Надо сказать, что это не является какой-то особенностью именно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которые использовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можно увидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и логическая последовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Был момент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, которая могла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание, что машина не может заменить человека в этой области знаний (и, по-видимому, ни в какой другой).

egincenter

f

О природе математического умозаключения

ndcenter

Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математика сводится к бесконечному повторению и тавтологии? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества, то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основе математики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом не сводится к закону противоречия.

Получается, что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным, которые даются в посылке. Иначе говоря, вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить, что А есть А. Кроме того, если математика имеет дедуктивный характер, то как объяснить тот факт, что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов. Чтобы объяснить смысл этих противоречий, надо признать, что математическое умозаключение само по себе имеет род творческой силы, и этим отличается от силлогизма.

Рассмотрим один из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений, причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение "дважды два равно четырем" используется, когда говорят о чем-то очень простом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первым пытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами

2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1. Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом в определении новой операции неявно используется аксиома ассоциативности сложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что 2+2=4. Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказали формальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, с этим никто не спорит.

Но если спросить любого математика об этом доказательстве, то он скажет, что это рассуждение доказательством не является, это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая, и если все математики ее чувствуют интуитивно, то далеко не все смогут ее точно определить. На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества, перевели предпосылки на другой язык. Истинное доказательство должно быть плодотворным, и вывод должен заключать в себе некое новое знание, чем посылка, которое берется не из новых введенных аксиом, а из самой творческой силы умозаключения.

Рассмотрим другое рассуждение, которое, по-видимому, лежит в самой основе математики. Пусть у нас есть некоторое высказывание, зависящее от n, например, что существует n-угольник, у которого 3 острых угла. Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим образом

Это верно для n=3.

Если это верно для n=3, то это верно для n=4.

Следовательно, это верно для n=4.

Если это верно для n=4, то это верно для n=5.

Следовательно, это верно для n=5. и т.д.

Таким образом, мы получаем бесконечный ряд силлогизмов. Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольника, то нам необходимо пройти все предыдущие этапы, и обосновать 7 силлогизмов. Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 силлогизмов. Тем не менее это время конечное. А вот если потребуется узнать, верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов, то жизни одного человека уже не хватит. Однако, как бы далеко мы не шли, мы никогда не дойдем до применимой ко всем числам теоремы, которая и есть предмет науки математика. Чтобы ее достигнуть, необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов, то есть надо перескочить бездну, сделать шаг, на который не способна формальная логика, и, следовательно, на этот шаг неспособна машина.

Орудием, которое

позволяет переходить от конечного к бесконечному, является математическая индукция, которая избавляет нас от ряда долгих и однообразных проверок, позволяя получить общую теорему. Надо сказать, что метод математической индукции для натуральных, а в последнее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано. Если задуматься, то это очень странный факт - ведь МЕТОД мышления включен в систему аксиом, он не может быть выведен из других аксиом - понятий при помощи логических законов. Причем еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему аксиом без индукции (кстати, это же пытался сделать и сам Пеано, и великий Гильберт), но так или иначе, индукция возникала в скрытой, неявной форме.

Вторая странность заключается вот в чем. Если аксиома - это то, что нам очевидно, то надо сказать, что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью, перед которой бессилен любой человеческий опыт. Это правило не доступно для аналитического или опытного доказательства или проверки. Но тем не менее, этот метод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума. Доказательством тому является тот факт, что в последние годы он входит в школьную программу для 10-11 классов, а наиболее подготовленные ученики осваивают его в 7-8 классе, причем интуитивно они начинают его применять примерно с 6 класса, и поэтому его логическую формулировку воспринимают достаточно легко. Здесь, по-видимому, сказывается только утверждение могущества человеческого разума, который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта, даже в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения.

Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имея простые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции. Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам, раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенно справедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимость очевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования был полезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами. Например, для чего изучать многоугольники, с которыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобы ограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольников.

Делается это для того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которые можно применять затем в любом частном случае. Если же рассматривать многоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, то увидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или интуиции, или не удается вообще.

Отсюда получается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можно сравнивать с аналогичными конструкциями того же родового понятия и когда есть возможность доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этих свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться от частного к общему, а это делается с помощью математической индукции.

egincenter

f

Два типа математического мышления

ndcenter

Если ознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуют два сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можно условно называют геометрическим или европейским тип, а другой - алгебраическим или азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно, подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт, Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабов Аль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра происходит от арабского слова аль-джебр.

Аналитики придерживаются в своих работах логической стройности, двигаясь вперед шаг за шагом. Обычно они не пропускают без доказательства ни одной мелочи, аккуратно обосновывая каждый шаг. При этом общая идея доказательства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные представления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко.

Совершенно иная ситуация у математиков с

геометрическим стилем мышления. Их работы изобилуют рисунками, если это вообще возможно. Если нет, то по крайней мере они на словах пытаются

объяснить то, что представляется их внутреннему взору. При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем, а иногда и вместо нее. Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей.

Надо сказать, что условное деление на геометров и аналитиков вовсе не означает, что они занимаются именно той областью математики, которая вынесена в название соответствующего типа мышления. Это просто условное название того типа мышления, который присущ данным людям. Причем, видимо, эта склонность дается от рождения, а не формируется в результате воспитания или обучения, хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности. Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами, обратимся к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре, записанной в его книге "Ценность науки". Я позволю себе процитировать довольно большой кусок, потому что он дает яркие примеры двух типов математиков, с которыми Пуанкаре был знаком лично.

"Так, Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц. Напротив, посмотрите на Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций; требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием. Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесь лишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, он надеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бы нравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме."

Аналогичная, даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций, особенно функций комплексного переменного. Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков, Вейерштрасса и Римана. Они жили примерно в одно время, и получили примерно одинаковое образования. Математическая одаренность каждого из них не вызывает никаких сомнений. Работали они примерно в одной области, но насколько разительно их подходы отличаются друг от друга! Если Вейерштрасс сводил все функции к аналитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов, то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике, то

Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии. Особенно интересно затронуть этот вопрос в свете того, что сама я лично была свидетелем очень яркого примера подобной классификации умов, и именно в этой области. Во время моего обучения в университете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали два преподавателя: Леонид Эммануилович Медников и Александр Борисович Воронецкий. Естественно, они разделили темы, и каждый читал эту теорию с той точки зрения, которая ему ближе. Если Воронецкий имеет ярко выраженные черты аналитического склада мышления, то Медников, наоборот, ярко выраженный геометр и, естественно, читал топологическую часть, связанную с римановыми многообразиями. Воронецкий же читал часть, связанную с оценками, неравенствами, разложениями в ряды и т.д. В чем же еще было отличие? Всем моим одногруппникам нравились лекции Воронецкого, потому что он не пропускал ни одной детали, все у него было логически правильно построено, при этом записано на бумаге, весь текст он полностью переносил на доску. Отдельно были выделены определения, затем теоремы, доказательства и примеры. Лекции же Медникова, по общему мнению, слушать было еще можно, а вот запоминать или записывать - нет. Он не записывал на доске практически ни одной формулы, а рисовал множество картинок, поясняя общую идею доказательства и не вдаваясь в детали. При этом в принципе было невозможно понять, где доказательство теоремы, а где пример. На мой взгляд, он как бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений над теоремами. Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов того и другого. Если мои одногруппники считали, что лекции Медникова не понятны и поэтому скучны, то для меня, наоборот, лекции Воронецкого казались загруженными ненужными деталями и поэтому скучными и сложными для понимания, а идеи доказательства, выраженные в картинках, я помню до сих пор, и до сих пор именно красота интуитивных идей делает для меня эти рассуждения простыми. Иначе говоря, эти два отличия присущи не только великим умам, но и встречаются повсюду. Если аналитики не способны представлять в пространстве(а у мы, будучи студентами, подозревали, что Медников может представить четырехмерное пространство), то геометры не способны к длительным вычислениям и скоро в них путаются (именно сейчас, в ходе работы над диссертацией, у меня возникают серьезные проблемы со строгой записью доказательств. Надо ли говорить, что я считаю свой стиль мышления более геометрическим, чем аналитическим). Оба рода умов одинаково необходимы для развития науки, оба делают те открытия и шаги, на которые неспособны другие.

egincenter

f

Роль интуиции в математике

ndcenter

Но, раз уж мы говорим, что математические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логической строгости, там не доказаны казавшиеся очевидными факты, то означает ли это, что все эти ученые были по своему складу ума геометрами? Конечно, это не так.

Иначе пришлось бы заключить, что в древности природа создавала только геометров, зато в 19 веке и на рубеже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам. Например, если взять Евклида , про которого неизвестно ничего, кроме одного сочинения, в котором и излагается система его аксиом, то можно с уверенностью заключить, что этот человек --- аналитик. Только логик мог в античные времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неизбыточной системы непротиворечивых аксиом. С большой вероятностью можно утверждать, что сами аксиомы, принимаемые интуитивно, были высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны теоремы геометрии. Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой, потому что именно Евклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания.

На сегодняшний день изменились не умы, а идеи. Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логикой, требуется некий необходимый уровень строгости, и эта необходимость признана всеми. Какова же причина этого негласного соглашения? Она лежит на поверхности. Мало того, что интуиция, при всей ее творческой силе, не может дать нам строгости. Это еще полбеды. К сожалению, она не может дать достоверности знания, полученного с ее помощью.

Например, все мы имеем интуитивное понятие о

непрерывной функции как о функции, график которой представляется непрерывной линией. В то же время строгое определение непрерывности, на каком языке (топологическом, языке последовательностей, $ e- l$-окрестностей) его не формулируй, не может не содержать менее 5 предикатов, а нормальный, не занимавшийся математикой человек может понять сходу фразу, содержащую не более двух вложенных предикатов. Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение? Но с помощью того интуитивного представления, которое мы имеем, представляя непрерывную кривую, мы получаем такое "доказательство": любая непрерывная функция имеет производную, так как любая кривая имеет касательную. В то же время известно, что далеко не всегда непрерывность функции обеспечивает ее гладкость.

Интуиция нас "обманывает" ровно в силу того, что в математике мы имеем дело не с реальными объектами, а с идеальными. Мы не можем представить себе кривую, не имеющую толщины. В лучшем случае мы представляем не канат, а очень тонкую линию, но тем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может. Это необходимо остается на долю логиков.

Таким образом, необходима логическая строгость, а она

невозможна в рассуждениях, если ее нет в определениях. Таким образом, усилия логиков были направлены на сами начальные определения. Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было определено только в 19 веке Дедекиндом, причем пришлось столкнуться с такими сложностями, что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, и то только технические специальности. Очевидное интуитивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке, и тоже с большими трудностями.

Естественно возникает вопрос: а закончилась ли эта эволюция строгости? Ведь не из лени и не из-за отсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нынешним временем строгости.

Кстати, физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта, что вызывают ужас у математиков. Результаты

экспериментов экстраполируются некоторой формулой, и если результаты последующих экспериментов хорошо ложатся в эту формулу, то она