Скачать

Системы стабилизации и ориентации

В настоящее время в промышленности и сельском хозяйстве применяются десятки тысяч систем автоматического регулирования (САР), которые обеспечивают высокую эффективность производственных процессов. Поэтому теория автоматического регулирования изучается во всех высших учебных заведениях в качестве одной из базовых дисциплин. На её основе в дальнейшем читаются такие курсы, как теория автоматического управления, автоматизированные системы переработки информации, управление технологическими и организационно-экономическими процессами, теория автоматизированного проектирования систем и их математическое обеспечение, а также целый ряд дисциплин специального назначения. Объекты и устройства систем регулирования отличаются по своей физической природе и принципам построения, поэтому проектировщику необходимо не только иметь хорошую подготовку в области механики, электроники, электротехники и вычислительной техники, но и уметь учитывать специфические особенности объекта. С целью овладения практическими навыками использования методов теории автоматического регулирования будущие специалисты в процессе обучения выполняют домашние задания, курсовые и дипломные работы по проектированию систем управления конкретными объектами.

Трудность выполнения проектных работ в значительной степени определяется сложностью математического аппарата, используемого при описании объектов и систем автоматического регулирования. Поэтому для облегчения решения задач теории автоматического регулирования имеет смысл создание процедур, реализующих ряд алгоритмов проектирования систем. Они позволяют формировать обобщенные модели элементов в дискретной форме и матрицы передаточных функций; строить амплитудно-фазовые частотные характеристики (в обычном и логарифмическом масштабах) и др.

1 Обзор литературы

1.1 Получение дискретной модели непрерывной системы

При проектировании непрерывных, дискретно-непрерывных и дискретных САР необходимо располагать математической моделью элемента (объекта). При высоких порядках моделей удобно пользоваться уравнениями, составленными во временной области и записанными в векторно-матричной форме. Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся форм представления многоконтурных стационарных линейных элементов (объектов). При этом будем считать, что в линейный объект регулирования после ряда преобразований входят лишь две матрицы: А и В. Тогда эту форму представления стационарного объекта можно записать в виде векторно-матричного уравнения

, (1.1)

где у и u-векторы размерностей (´ 1) и (m´ 1); А и В - матрицы размерности (´) и (´m).

С целью использования одинаковой формы описания объектов непрерывных, дискретно-непрерывных и дискретных САР пользуются теорией спектрального разложения матриц, которая с помощью специально созданных алгоритмов позволяет получать единые математические модели в дискретной форме. К основному преимуществу такого подхода следует отнести возможность представления моделей с использованием матриц до 50-80-го порядков, без существенного понижения точности спектрального разложения матриц.

Рассмотрим алгоритмы, с помощью которых составляются дискретные модели многомерных объектов, описываемых типовым векторно-матричным уравнением (1.1). Аналитическое решение этого уравнения при начальных условиях y(t₀) имеет вид

(1.2)

В моменты времени t=кT₀ иt=(к+1)Т₀ состояние объекта у_к+1 связано с предыдущим состоянием у_к соотношением

(1.3)

где - переходная матрица системы уравнений.

Математические зависимости для алгоритмов дискретных моделей можно составить с тремя типами экстраполяторов.

Самая простая дискретная модель может быть получена, если положить, что внутри интервала квантования сигнала, и (t) экстраполируется по одной точкеступеньки со значениями и_к , т.е. перед объектом включен экстраполятор нулевого порядка Э₀. В этом случае соотношение (1.3) можно представить в виде

у_к+1=Фу_к+Fи_к . (1.4)

Здесь F=(Ф - I)А^-1В - матрица коэффициентов, обеспечивающих передачу сигналов по входам дискретной модели.

1.2 Передаточные функции непрерывных и дискретных систем

Под передаточной функцией стационарных элементов понимают отношение изображения выходной величины к изображению функции входной величины, полученные при нулевых начальных условиях. Для многоконтурных стационарных элементов возможно получение матрицы передаточных функций на основе модели системы во временной области в векторно-матричной форме (1.1). Применяя преобразование Лапласа, получим:

IX(s)=AX(s)+BU(s), (1.5)

где I - единичная матрица. Путем несложных преобразований найдем:

X(s)=(Is – A)^-1BU(s). (1.6)

Таким образом, матрицу передаточных функций в общем виде можно записать так:

M_U=X(s)/U(s)=(Is – A)^-1B (1.7)

1.3 Частотные характеристики непрерывных и

дискретных систем

Частотные характеристики линейных непрерывных систем находятся из передаточных функций после подстановки в них =jw и выделения действительной мнимой частей, т.е.

W₀(jw)=U₀(w)+jV₀(w), (1.8)

где U₀(w) и V₀(w) - соответственно действительная и мнимая частотные характеристики.

Пользуясь выражением (1.8), в декартовой системе координат строят амплитудно-фазовые частотные характеристики W₀(jw). Если перейти к полярной системе координат, то выражение (1.8) можно переписать в виде

(1.9)

где и q₀(w) - соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Из выражений (1.8) и (1.9) можно найти формулы для вычисления амплитудной и фазовой частотных характеристик:

(1.10)

Частотные характеристики линейных дискретных систем находятся путем подстановки в передаточные функции .

На практике амплитудные и фазовые частотные характеристики строят на полулогарифмической бумаге. Тогда ось w размечают в логарифмическом масштабе, где изменение частоты в 10 раз называется декадой, амплитуду откладывают в децибелах и фазу q в градусах.

1.4 Анализ устойчивости непрерывных и дискретных систем

Системы стабилизации должны обеспечивать устойчивость и заданную точность регулирования отклонений углов и координат центра масс ЛА от программных значений. При этом могут налагаться ограничения на значения отдельных параметров системы (управляющие воздействия или производные управляющих воздействий). Отклонения углов и угловых скоростей могут ограничиваться для определенных возмущающих воздействий.

Задача обеспечения устойчивости является доминирующей при синтезе систем стабилизации ЛА. Движение системы на конечном интервале времени считается устойчивым, если на этом интервале при заданных начальных условиях и действующих возмущений его параметры не превышают заданных ограничений - техническая устойчивость. Если система содержит существенные нелинейности, то для устойчивости при заданных начальных условиях и действующих возмущений необходимо чтобы при начальной амплитуде периодической составляющей, превышающей её установившееся значение с течением времени эта амплитуда стремилась к своему установившемуся значению, а параметры установившегося движения не превышали заданных ограничений.

Для анализа устойчивости линейной или линеаризованной системы используется понятие асимптотической устойчивости, при этом обычно Используется стационарные математические модели, полученные с использованием метода замороженных коэффициентов. Система является асимптотически устойчивой, если:

·для непрерывных систем - корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости;

·для дискретных систем - корни характеристического полинома лежат внутри окружности единичного радиуса.

Устойчивость непрерывных систем может исследоваться с помощью первого метода Ляпунова, а также алгебраических критериев (Гурвица, Рауса и Льенара-Шепара). Для дискретных систем используется критерий Кларка и Шур-Кона. Основным недостатком применения данных критериев следует считать невозможность получения при этом оценок качества и точности. Пользуясь ими для систем высокой размерности, проектировщик не может дать рекомендаций по выбору параметров, не только обеспечивающих запасы устойчивости, но и удовлетворяющих требованиям к качеству и точности процессов регулирования. Следует отметить, что на устойчивость дискретных нелинейных систем большое влияние оказывает выбор такта квантования.

Частотные критерии устойчивости предполагают использование передаточных функций для описания системы регулирования и справедливы при её полной наблюдаемости и управляемости. Тогда критерий устойчивости по Ляпунову аналогичен критериям Михайлова, Михайлова-Найквиста и D-разбиениям Неймарка. Эти критерии применимы к анализу как непрерывных, так и дискретных систем. Однако в первом случае они базируются на методах s-преобразований, во втором - z-преобразований. Положив s=jw или z=e^jwT0, строятся частотные характеристики, по которым определяются устойчивости систем регулирования по фазам и модулям и с помощью специальных номограмм оценивают показатели качества и характеристики точности. Большим преимуществом частотных критериев устойчивости является возможность их распространение и на многие типы нелинейных систем.

При проектировании систем стабилизации ЛА чаще всего используются алгебраические и частотные критерии, реже корневые.

1.4.1 Корневые критерии заключаются в вычислении корней

характеристического полинома замкнутой системы.

1.4.2 Алгебраические критерии устойчивости не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней характеристического уравнения и при относительно невысоких порядках дифференциальных уравнений (до 15-го) позволяют находить условия устойчивости автономных замкнутых систем.

А(s)=a_nsⁿ + a_n-1s^n-1+ a_n-2s^n-2+…+a₀. (1.11)

Критерий Гурвица. Корни характеристического уравнения (1.11) n-го порядка будут иметь отрицательные действительные части, если составленный из его коэффициентов а_i> 0 определитель

(1.12)

и все его диагональные миноры

(1.13)

положительны.

Критерий Рауса. Зная коэффициенты характеристического уравнения, составляют таблицу Рауса(табл. 1.1). Для того чтобы замкнутая система была устойчива асимптотически, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Рауса первого столбца таблицы при а_i>0 были положительны, т.е. с_i,1>0 (i=1,2,…). Для вычисления элементов табл. 1.1 можно использовать следующие рекуррентные формулы:

для первой строки таблицы

(1.14)

для второй строки таблицы

(1.15)

для остальных строк

(1.16)

Таблица 1.1

Критерий Шур-Кона. Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому полиному замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования. Для уравнения n-го порядка имеем

A(z)=a_nzⁿ+ a_n-1z^n-1+ a_n-2z^n-2+…+a₀. (1.17)

По уравнению запишем коэффициенты в виде определителя

(1.18)

где k=1,2,…,n; a^*- сопряженные значения тех же коэффициентов.

Корни характеристического уравнения (1.18) будут находиться внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения (1.17) удовлетворяют всем определителям Шур-Кона, имеющего D_k< 0 - для нечетных k и D_k > 0 для четных k. В этом случае система будет устойчива

Критерий Кларка. Представляет собой совокупность 3-х необходимых условий, и лишь выполнение всех этих условий является условием устойчивости системы:

1. А(1) > 0

2. (-1)А(-1) > 0

3. Необходимо вычислить определители матриц D⁺ и D^- , а также их внутренние матрицы. Внутренние матрицы получаются из исходных вычеркиванием окаймляющих строк и столбцов. Количество условий устойчивости зависит от порядка системы.

D⁺=C_n-1+B_n-1; D^-=C_n-1-B_n-1; (1.19)

(1.20)

Система устойчива, если определители матриц D⁺ и D^- , а также всех её внутренних матриц положительны. Система не устойчива, если не выполняется хотя бы одно из условий устойчивости Кларка.

1.5 Синтез цифровых систем управления по желаемым частотным характеристикам разомкнутой системы

Одно из направлений развития алгоритмических методов синтеза базируется на использовании частотных методов исследования. Процедура машинного синтеза формируется при этом как задача аппроксимации оптимальной в определенном смысле частотной характеристики разомкнутой системы (так называемой желаемой характеристики) исходной характеристикой.

Приближение исходной характеристики к желаемой достигается применением законов управления (корректирующих устройств) минимальной сложности и осуществляется в выбранных характерных точках частот по критерию минимума средних квадратов. При этом под корректирующим устройством минимальной сложности понимается устройство, имеющее наименьшую размерность.

Пусть желаемая АФЧХ разомкнутой системы известна в точках, соответствующих выбранным псевдочастотам l_к, к=1,2,…,m

W(jl_к)=U_к+jV_к. (1.21)

Для некоторых значений параметров наперед выбранного закона управления D(z) можно рассчитать АФЧХ скорректированной системы W_ск(jl_к) на этих же значениях частоты l_к :

W_ск(jl_к)=W₀(jl_к)D(jl_к)=Re_к+jIm_к, (1.22)

где W₀(jl_к) - частотная характеристика располагаемой (исходной) системы при l=l_к.

Затем следует определить сумму квадратов расстояний между соответствующими точками желаемой и скорректированной частотными характеристиками:

(1.23)

Минимизируя величину Е с помощью одного из методов поиска экстремума, можно получить наилучшее приближение к желаемой характеристике при выбранном законе управления D(z).

В функционал можно ввести некоторые весовые коэффициенты R(l_к) и рассматривать критерий оптимизации в виде

(1.24)

При использовании ЛЧХ следует задаваться значениями желаемых характеристик ЛАХ и ЛФХ в m точках для выбранных значений псевдочастоты l_к, к=1, 2,…, m и строить критерий как сумму квадратов отклонений ЛАХ и ЛФХ разомкнутой скорректированной системы от желаемой:

где L(l_к) и j(l_к) - значения желаемых ЛАХ и ЛФХ;

L_ск(l_к) и j_ск(l_к) - значения скорректированных ЛАХ и ЛФХ;

R(l_к) и K_n - весовые коэффициенты.

При выборе параметров закона управления по критериям Е, Е₁,Е₂ можно варьировать как постоянные времени форсирующих или инерционных звеньев, так и коэффициенты передаточной функции D(z), т.е. задача синтеза сводится к перебору различных структур и параметров, физически реализуемых D(z), и выбору D(z) простейшей структуры.

При машинных методах синтеза в качестве исходных законов управления принимают функции минимальной сложности и увеличивают их размерность до тех пор, пока не будет достигнуто приближение исходной частотной характеристики системы к желаемому виду. В этом случае в качестве исходных передаточных функций последовательного корректирующего устройства можно принимать функции вида

(1.26)

2 Разработка библиотеки процедур в среде Maple

2.1 Получение дискретной модели непрерывной системы

2.1.1 Процедура diskretA - получение дискретной матрицы состояния.

Формат:

diskretA(А,Т0)

Параметры:

А - матрица состояния непрерывной системы;

Т0 - такт квантования.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу состояния дискретной системы по известной матрице состояния размерности (n´ n) непрерывной системы и такту квантования по формуле, приведенной в пункте 1.1. Результатом является матрица такой же размерности.

Пример:

diskretA(matrix(2,2,(0,1,2.268,-0.03)),0.1);

(1.011350092 .1002280116)

( )

(.2273171304 1.008343251)

2.1.2 Процедура diskretВ - получение дискретной матрицы управления.

Формат:

diskretВ(А,В,Т0)

Параметры:

А - матрица состояния непрерывной системы;

В - матрица управления непрерывной системы;

Т0 - такт квантования.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу управления дискретной системы по известной матрице состояния размерности (n´ n), матрице управления размерности (n´m) непрерывной системы и такту квантования по формуле, приведенной в пункте 1.1. Результатом является матрица такой же размерности, что и матрица управления непрерывной системы.

Пример:

diskretB(matrix(2,2,(0,1,2.268,-0.03)),matrix(2,1,(0,-4.235)),0.1);

( -.4257409375)

( )

(.06093613489)

2.2 Получение матрицы передаточных функций

2.2.1 Процедура permatr - получение матрицы передаточных функций.

Формат:

permatr(А,В,с)

Параметры:

А - матрица состояния непрерывной или дискретной системы;

В - матрица управления непрерывной или дискретной системы;

C - строковая переменная s или z, обозначающая передаточную функцию какой системы необходимо вычислить.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу передаточных функций дискретной или непрерывной системы n-го порядка согласно пункту 1.2 по формуле (1.7). Результатом выполнения процедуры является матрица n-го порядка, элементами которой являются передаточные функции.

Пример:

permatr(matrix(2,2,(4,3,2,1)),matrix(2,2,(0,1,2,1)),z);

2.3 Построение частотных характеристик

дискретной и непрерывной систем

2.3.1 Процедура afch - построение амплитудно-фазовой частотной характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

afch(W,c,Т0)

Параметры:

W - передаточная функция системы;

C - строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой системы необходимо построить;

Т0 - такт квантования для дискретной системы.

Описание:

Процедура строит АФЧХ дискретной и непрерывной систем согласно методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

afch(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1);

Полученный график можно увидеть на рисунке А.1 приложения А.

2.3.2 Процедура lach - построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

lach(W, c, Т0, x2, y1, y2)

Параметры:

W - передаточная функция системы;

с - строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой системы необходимо построить;

Т0 - такт квантования для дискретной системы;

x2 - правый предел изменения частоты;

y1 и y2 - границы изменения логарифмической амплитуды.

Описание:

Процедура строит ЛАЧХ дискретной и непрерывной систем согласно методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

lach(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1,5,-50,0);

Полученный график можно увидеть на рисунке А.1 приложения А.

2.3.3 Процедура lfch - построение логарифмической фазо-частотной характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

lfch(W, c, Т0, x2, y1, y2)

Параметры:

W - передаточная функция системы;

с - строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой системы необходимо построить;

Т0 - такт квантования для дискретной системы;

x2 - правый предел изменения частоты;

y1 и y2 - границы изменения логарифмической фазы.

Описание:

Процедура строит ЛФЧХ дискретной и непрерывной систем согласно методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

lfch(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1,3,0,Pi);

Полученный график можно увидеть на рисунке Б1 приложения Б.

2.4 Анализ устойчивости

дискретной и непрерывной систем

2.4.1 Процедура klark - построение особых линий для определения области устойчивости дискретных систем.

Формат:

klark(А, В, К, x1, x2, y1, y2)

Параметры:

А - матрица состояния дискретной системы;

В - матрица управления дискретной системы;

К - матрица;

x1 и x2 - пределы изменения параметра к1;

y1 и y2 - пределы изменения параметра к2;

Описание:

Процедура строит особые линии для определения области устойчивости дискретных систем по критерию Кларка, описанному в пункте 1.4. При задании матрицы К необходимо два изменяемых параметра обозначить к1 и к2.

Пример:

Построенный график можно увидеть на рисунке Б.1 приложения Б.

2.4.2 Процедура gurvitz - построение особых линий для определения области устойчивости непрерывных систем.

Формат:

gurvitz(А, В, К, x1, x2, y1, y2)

Параметры:

А - матрица состояния непрерывной системы;

В - матрица управления непрерывной системы;

К - матрица;

x1 и x2 - пределы изменения параметра к1;

y1 и y2 - пределы изменения параметра к2;

Описание:

Процедура строит особые линии для определения области устойчивости непрерывных систем по критерию Гурвица, описанному в пункте 1.4. При задании матрицы К необходимо два изменяемых параметра обозначить к1 и к2.

Пример:

Построенный график можно увидеть на рисунке В.1 приложения В.

2.4.3 Процедура ust - оценивает устойчивость непрерывной и дискретной замкнутых систем.

Формат:

ust(A, B, K, c)

Параметры:

А - матрица состояния непрерывной или дискретной системы;

В - матрица управления непрерывной или дискретной системы;

К - матрица;

с - строковая переменная s или z, которая обозначает устойчивость какой системы необходимо оценить.

Описание:

Процедура оценивает устойчивость непрерывной и дискретной замкнутых систем по корневому критерию.

Процедура возвращает строковую переменную,

принимающую значения:

ust - система устойчива;

noust - система не устойчива;

nagr - система находится на границе устойчивости.

Пример:

ust(matrix(2, 2, (0,1,2.268,-0.03)), matrix(2,1,(0,-4.235)),

matrix(1, 2, (1,0)), z);

noust

2.5 Синтез дискретных систем

2.5.1 Процедура sintez1 - определяет коэффициенты корректи-рующего звена.

Формат:

Sintez1(W, Wg, a, T0)

Параметры:

W - исходная передаточная функция;

Wg - вектор желаемых значений АФЧХ при определенных значениях частоты;

А - вектор значений частоты;

T0 - такт квантования.

Описание:

Процедура возвращает коэффициенты корректирующего звена, реализующего первый закон управления (формула 1.26) по квадратичному критерию (1.23).

Пример:

W := .5*(-93478.39101*z-.1150000000e3*z^2

+902.6600000*z^3+1026.926837)/(z^5-.5570000000*z^4-

124.6542298*z^3+46.10663267*z^2+328.8088091*z-4.226757788)

a:=vector(3,(10,100,1000)): Wg:=vector(3,(1,-1,-4)): Т0:=0.063:

sintez1(W, Wg, a, t0);

2.5.2 Процедура sintez2 - определяет коэффициенты корректи-рующего звена.

Формат:

Sintez1(W, Wg, a, T0)

Параметры:

W - исходная передаточная функция;

Wg - вектор желаемых значений АФЧХ при определенных значениях частоты;

а - вектор значений частоты;

T0 - такт квантования.

Описание:

Процедура возвращает коэффициенты корректирующего звена, реализующего первый закон управления (формула 1.26) по квадратичному критерию (1.24).

Пример:

W := .5*(-93478.39101*z-.1150000000e-3*z^2+902.6600000*z^3

+1026.926837)/(z^5-.5570000000*z^4-124.6542298*z^3

+46.10663267*z^2 +328.8088091*z-4.226757788)

a:=vector(3,(10,100,1000)): Wg:=vector(3,(1,-1,-4)): Т0:=0.063:

sintez2(W, Wg, a, t0);

3 Апробация библиотеки процедур SSO на примере

самолета «Боинг-747»

Для примера взята система стабилизации линейного набора высоты. Уравнения системы имеют вид (1.1), матрицы А и В показаны на (рис. 3.1). Ниже представлено:

1. Нахождение дискретных матриц В (рис.3.1) и А (рис.3.2).

2. Построение особых линий устойчивости по критерию Кларка для дискретных систем (рис.3.2).

3. Нахождение передаточных матриц непрерывной и дискретной систем (рис.3.3).

4. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывной (рис.3.4) и дискретной (рис.3.5) систем.

5. Построение особых линий устойчивости по критерию Гурвица для непрерывных систем (рис.3.6).

6. Нахождение коэффициентов корректирующего устройства наиболее приближающего желаемую АФЧХ к исходной по двум критериям (рис.3.7).

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Заключение

1. Решена задача автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации с использованием ряда классических методов теории автоматического управления.

2. Разработана библиотека процедур, дополняющая основной математический пакет программ MAPLE V, которая поможет в решении задач анализа и синтеза систем стабилизации и, в частности, в выполнении курсового проекта по дисциплине «Системы стабилизации и ориентации».

3. Библиотека процедур испытана на примере системы стабилизации самолета «Боинг-747», были получены дискретная модель и передаточные функции системы, построены особые линии устойчивости и найдены параметры корректирующего устройства по двум критериям (как видно из результатов второй критерий дает лучшее приближение желаемой характеристики к исходной). Полученные результаты подтверждают высокую эффективность применения результатов работы для автоматизации проектирования систем управления ЛА.

Приложение А

Рис.А.1

Приложение Б

Рис.Б.1

Приложение В

Рис.В.3

Список литературы

1. Айзенберг Я.Е., Сухоребрый В.Г. Проектирование систем стабилизации носителей космических аппаратов.- М.: Машиностроение,1986

2. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.- М.: Наука, 1976

3. Борушко Ю.М., Вартанян В.М., Сысун А.И. Системы стабилизации ЛА.- Х.: ХАИ,1989

4. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. - М.:Машиностроение,1986

5. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. -М.: Машиностроение, 1989

6. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5.-М.:СОЛОН,1998