Скачать

Сетевые графики

СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ

Такие крупные проекты, как строительство дома, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета, изготовление станка и т.д. можно разбить на большое количество различных операций (работ). Одни операции могут выполняться одновременно, другие — только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отде­лочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент

Основные задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта:

определение времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект;

определение резервов времени для выполнения отдельных работ;

определение критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом;

управление ресурсами, если таковые имеются и т.п

Пусть некоторый проект W состоит из работ V 1 ,..., V n ; для каждой работы V k известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t ( V k ). Кроме того, для каждой работы V k известен, возможно пустой, список ПРЕДШ( V k ) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы V k . Иначе говоря, работа V k может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ( V k )

В список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p , где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p — завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам v О W, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ v О W   положим   ПРЕДШ(v)={s}.   Положим далее ПРЕДШ(s) = Ж , ПРЕДШ( p )={v О W: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю:    t(s)=t( p )=0

Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G =( V , E , c ). Ориентированный взвешенный граф G =( V , E , c ) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД( v ) или ПРЕДШ( v ). При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G =( V , E , c ) определим по правилам:

V = W , то есть множеством узлов объявим множество работ;

E ={( v , w ) : v О ПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;

c(v,w)=t(w)

Построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ(v) совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v)

Очевидно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы V k 1 , V k 2 ,..., V kr = V k 1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа V k 2 не может на­чаться раньше, чем будет завершена работа V k 1 , работа V k 3 — раньше, чем завершится работа V k 2 , и т.д., и, наконец, V kr = V k 1 — раньше, чем будет завершена работа V kr -1 . Но тогда никакая из работ V k 1 ,..., V kr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров

Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги ( V i , V j ) сети G выполнялось условие i < j , то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. Осущест­вить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы

Конечной целью построения сетевой модели является получе­ние информации о возможных сроках выполнения, как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в це­лом. Обозначим через PB ЫП( v ) (соответственно PHA Ч( v )) наиболее ранний   возможный   срок   выполнения работы   v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PB ЫП( s )= PHA Ч( s )=0. Поскольку на­чать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHA Ч( v ) и PB ЫП( w ) :

PHA Ч( v ) = МАКС{ PB ЫП( w ): w О ПРЕДШ(v)},

PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v)

Значение PB ЫП( p ) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП

 

Алгоритм 1.

Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V

Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ( v ), РВЫП( v ), v О V

Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ( v ) и выполнения РВЫП( v ) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину v k = v 1.

Всем вершинам v предшествующим текущей вершине v k , значение РНАЧ( v k ) присвоить максимум из значений РВЫП( v ) и РНАЧ( v k ). Значение РВЫП( v k ) положить равным значению РНАЧ( v k ) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t ( v k )

Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной v k , иначе перейти в Шаг 5

Вернуться в Шаг 2

Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), v О V, конец работы алгоритма

  Пусть T — плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП( V n +1 )

Через ПВЫП( v ) (соответственно ПНАЧ( v )) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v , то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта

Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:

PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v)

Значение PE 3 EPB ( v ) равно максимальной задержке в выпол­нении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)

Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый мак­симальный s- p -путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта

Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ

Алгоритм 2.

Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V , плановый срок окончания проекта – Т

Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v )

Объявить для всех работ v О V значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т – значению планового срока окончание проекта и вершину v p фиктивной работы p объявить текущей v k

Присвоить значение ПНАЧ текущей работы v k равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы

Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ v О ПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе v k минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы v k , если таковых нет перейти в Шаг 4

Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6

Перейти в Шаг 2

Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v ), конец работы алгоритма

Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:

Пример 1 : Проект   гаража для стоянки автопогрузчиков

n

Наименование работы

Предшествующие работы

Время выполнения t ( v k )

1

Начало проекта (фиктивная работа)

Нет

0

2

Срезка растительного слоя грунта

1

5

3

Монтаж каркаса

2

30

4

Обшивка стен профнастилом

3

15

5

Кровля из профнастила

3

12

6

Заполнение проема воротами

4

5

7

Масляная окраска ворот и профнастила

5,6

10

8

Щебёночное основание под полы

7

3

9

Асфальтовое покрытие

8

3

10

Уборка строительного мусора после строит

7

3

11

Конец проекта (фиктивная работа)

9,10

0

Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия выполняемые шагом

1

Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равными нулю. Текущая вершина v k =1

2

Вершин предшествующей первой нет

РВЫП(1)=РНАЧ(1)+ t (1). { РНАЧ(1) стало равным 0 }

3

Текущая вершина v k =2

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}

РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}

3

Текущая вершина v k =3

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}

РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 35}

3

Текущая вершина v k =4

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35}

РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 50}

3

Текущая вершина v k =5

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35}

РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}

3

Текущая вершина v k =6

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50}

РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 55}

3

Текущая вершина v k =7

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47}

РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55}

РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 65}

3

Текущая вершина v k =8

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65}

РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 68}

3

Текущая вершина v k =9

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68}

РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 71}

3

Текущая вершина v k =10

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65}

3

Текущая вершина v k =11

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}

3

Переход в Шаг 5

5

Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ

Таблица результатов работы алгоритма

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

РНАЧ( v )

0

0

5

35

35

50

55

65

68

65

71

РВЫП( v )

0

5

35

50

47

55

65

68

71

68

71

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени   наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия, выполняемые шагом

1

Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т

Текущая вершина v k =11

2

ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 71}

3

ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71}

ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71}

4

Текущая вершина v k =10

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 68}

3

ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68}

4

Текущая вершина v k =9

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 68}

3

ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68}

4

Текущая вершина v k =8

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 65}

3

ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65}

4

Текущая вершина v k =7

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 55}

3

ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55}

ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55}

4

Текущая вершина v k =6

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 50}

3

ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50}

4

Текущая вершина v k =5

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 43}

3

ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43}

4

Текущая вершина v k =4

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 35}

3

ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35}

4

Текущая вершина v k =3

5

Переход в шаг 2

2

ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 5}

3

ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}

4

Текущая вершина v k =2

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}

3

ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}

4

Текущая вершина v k =1

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}

3

Переход в Шаг 4

4

Переход в Шаг 6

6

Конец работы алгоритма, выдача значений времени   наиболее позднего начала и выполнения работ

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=ПНАЧ( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)

Работы

РНАЧ

РВЫП

ПНАЧ

ПВЫП

Резерв

1

0

0

0

0

0

2

0

5

0

5

0

3

5

35

5

35

0

4

35

50

35

50

0

5

35

47

43

55

8

6

50

55

50

55

0

7

55

65

55

65

0

8

65

68

65

68

0

9

68

71

68

71

0

10

65

68

68

71

3

11

71

71

71

71

0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=71

Пример 2 : Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге

n

Наименование работы

Предшествующие работы

Время выполнения t ( v k )

1

Начало проекта (фиктивная работа)

Нет

0

2

Разработка грунта экскаваторами с ковшом 0.5 м 3 с погрузкой на автомобили-самосвалы

1

16

3

Зачистка дна и стенок с выкидкой грунта

2

10

4

Монтаж водопроводных колодцев

1

32

5

Монтаж плит перекрытий из легкого бетона

3

21

6

Пробивка в бетонных стенах и полах отверстий

5

5

7

Оклейка плит рубероидом и гидроизолом на нефтебитуме в 1 слой

4,5

14

8

Заделка сальников при проходе труб через фундаменты или стены подвалов

5

10

9

Монтаж скоб

6

7

10

Устройство стяжек цементных

9

5

11

Конец проекта. (фиктивная работа)

7,8,10

0

Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия, выполняемые шагом

1

Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю

Текущая вершина v k =1

2

Вершин предшествующей первой нет

Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)

3

Текущая вершина v k =2

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)}{РНАЧ(2) стало равным 0}

РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 16}

3

Текущая вершина v k =3

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)}{РНАЧ(2) стало равным 16}

РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 26}

3

Текущая вершина v k =4

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 0}

РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 32}

3

Текущая вершина v k =5

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 26}

РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}

3

Текущая вершина v k =6

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 47}

РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 52}

3

Текущая вершина v k =7

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47

РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 61}

3

Текущая вершина v k =8

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(8)}{РНАЧ(8) стало равным 47}

РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 57}

3

Текущая вершина v k =9

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 52}

РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным }

3

Текущая вершина v k =10

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 59}

РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 64}

3

Текущая вершина v k =11

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 61}

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало рвным 61}

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 64}

РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 64}

3

Переход в Шаг 5

5

Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ

Таблица результатов работы алгоритма

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

РНАЧ( v)

0

0

16

0

26

47

47

47

52

59

64

РВЫП( v )

0

16

26

32

47

52

61

57

59

64

64

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=64. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени   наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия, выполняемые шагом

1

Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т

Текущая вершина v k =11

2

ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 64}

3

ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(7) стало равным 64}

ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(8) стало равным 64}

ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(9) стало равным 64}

4

Текущая вершина v k =10

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 59}

3

ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(10)} {ПВЫП(9) стало равным 59}

4

Текущая вершина v k =9

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 52}

3

ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(6) стало равным 52}

4

Текущая вершина v k =8

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 54}

3

ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(5) стало равным 54}

4

Текущая вершина v k =7

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 50}

3

ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 50}

ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(4) стало равным 50}

4

Текущая вершина v k =6

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 47}

3

ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 47}

4

Текущая вершина v k =5

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 26}

3

ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 26}

4

Текущая вершина v k =4

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 18}

3

ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(1) стало равным 18}

4

Текущая вершина v k =3

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 16}

3

ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 16}

4

Текущая вершина v k =2

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}

3

ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}

4

Текущая вершина v k =1

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}

3

Переход в Шаг 4

4

Переход в Шаг 6

6

Конец работы алгоритма, выдача значений времени   наиболее позднего начала и выполнения работ

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)

Работы

РНАЧ

РВЫП

ПНАЧ

ПВЫП

Резерв

1

0

0

0

0

0

2

0

16

0

16

0

3

16

26

16

26

0

4

0

32

18

50

32

5

26

47

26

47

0

6

47

52

47

52

0

7

47

61

50

64

3

8

47

57

54

64

10

9

52

59

52

59

0

10

59

64

59

64

0

11

59

64

64

64

0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64

Пример 3 : Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха

n

Наименование работы

Предшествующие работы

Время выполнения t ( v k )

1

Начало проекта (фиктивная работа)

Нет

0

2

Монтаж металлоконструкций нижней обвязки каркаса

1

5

3

Устройство бетона под стойки

2

3

4

Монтаж стоек

3

10

5

Монтаж опорных столиков

4

5

6

Монтаж балок

2

7

7

Монтаж металлоконструкций ворот

6

7

8

Обшивка стен и кровли волнистым листом

6

12

9

Монтаж козлового крана

7

5

10

Устройство асфальтобетонных покрытий

8

5

11

Конец проекта (фиктивная работа)

5,9,10

0

Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия, выполняемые шагом

1

Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю

Текущая вершина v k =1

2

Вершин предшествующей первой нет

Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)

3

Текущая вершина v k =2

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}

РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}

3

Текущая вершина v k =3

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}

РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 8}

3

Текущая вершина v k =4

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)} {РНАЧ(4) стало равным 8}

РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 18}

3

Текущая вершина v k =5

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(5)} {РНАЧ(5) стало равным 18}

РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 23}

3

Текущая вершина v k =6

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(6)={РВЫП(2),РНАЧ(6)} {РНАЧ(6) стало равным 5}

РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 12}

3

Текущая вершина v k =7

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)} {РНАЧ(7) стало равным 12}

РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 19}

3

Текущая вершина v k =8

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 12}

РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 24}

3

Текущая вершина v k =9

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(9)} {РНАЧ(9) стало равным 19}

РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 24}

3

Текущая вершина v k =10

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(10)} {РНАЧ(10) стало равным 24}

РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 29}

3

Текущая вершина v k =11

4

Переход в Шаг 2

2

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)} {РНАЧ(11) стало равным 24}

РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(10)}{РНАЧ(11) стало равным 29}

РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 29}

3

Переход в Шаг 5

5

Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ

Таблица результатов работы алгоритма

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

РНАЧ( v )

0

0

5

8

18

5

12

12

19

24

29

РВЫП( v)

0

5

8

18

23

12

19

24

24

29

29

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=29. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени   наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов

Шаг n

Действия выполняемые шагом

1

Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т

Текущая вершина v k =11

2

ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 29}

3

ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 29}

ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 29}

4

Текущая вершина v k =10

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 24}

3

ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(8) стало равным 24}

4

Текущая вершина v k =9

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 24}

3

ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(7) стало равным 24}

4

Текущая вершина v k =8

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 12}

3

ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(6) стало равным 12}

4

Текущая вершина v k =7

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 17}

3

ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 12}

4

Текущая вершина v k =6

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 5}

3

ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(2) стало равным 5}

4

Текущая вершина v k =5

5

Переход в шаг 2

2

ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 24}

3

ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(4) стало равным 24}

4

Текущая вершина v k =4

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 14}

3

ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 14}

4

Текущая вершина v k =3

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 11}

3

ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}

4

Текущая вершина v k =2

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}

3

ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}

4

Текущая вершина v k =1

5

Переход в Шаг 2

2

ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}

3

Переход в Шаг 4

4

Переход в Шаг 6

6

Конец работы алгоритма, выдача значений времени   наиболее позднего начала и выполнения работ

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)

Работы

РНАЧ

РВЫП

ПНАЧ

ПВЫП

Резерв

1

0

0

0

0

0

2

0

5

0

5

0

3

5

8

11

14

3

4

8

18

14

24

10

5

18

23

24

29

5

6

5

12

5

12

0

7

12

19

17

24

7

8

12

24

12

24

0

9

19

24

24

29

5

10

24

29

24

29

0

11

29

29

29

29

0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 6, 8, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=29

Список используемой литературы:

 

1. Асанов М. О. «Дискретная оптимизация», УралНАУКА, Екатеринбург 1998



Категории:

Подобное:

Copyright © https://referat-web.com/. All Rights Reserved