Скачать

Свойства бесконечной величины. Различие актуальной и потенциальной бесконечности

Зенон о бесконечной величине

Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности

Николай Кузанский о бесконечном

Больцано "Парадоксы бесконечного"

Георг Кантор о бесконечном множестве чисел

Заключение

Список литературы

Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс, "противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира приводит к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет к новым худшим противоречиям. Именно тому,что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.

В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания в конце XIX в. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре парадоксов этой теории. В то время как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике. Споры, связанные с теорией множеств, стали еще ожесточеннее после того, как группа французских математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, опираясь лишь на понятие множества. Эта попытка, восторженно встреченная рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки XX в., подвергалась осуждению со стороны других ученых за излишнюю формализацию, попытку оторвать математическую науку от питающих ее животворных практических приложений.

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы.

Именно благодаря данной проблеме философия и математика сблизились, так как общей целью этих наук является достижение истинного знания по бесконечной величине. Не случайно же понятие бесконечного исследовалось в работах Больцано и Кантора, которые были как философами, так и математиками. Поэтому данная тема всегда актуальна.

Определившись с темой работы, передо мной возникла цель - исследовать свойства бесконечной величины и сопоставить понятия потенциальной и актуальной бесконечности. Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи: рассмотреть апории Зенона, для доказательства которых он активно применял свойство бесконечной величины; объяснить трактовку бесконечной величины у Кузанского, показать выявленные им свойства бесконечной величины и сопоставить актуальную и потенциальную бесконечность Кузанского; узнать о первом разделении актуальной и потенциальной бесконечности, введенное Аристотелем; а также исследовать свойства бесконечной величины в теориях бесконечных множеств философов - математиков Больцано и Кантора.

Для подготовки работы я активно использовала работы самих философов, а также литературу, содержащую основные положения работ философов и их оценку.

Зенон получил наибольшую известность за создание опорий, в переводе означающих противоречия. Благодаря им почти каждый последующий философ упоминал его имя в своих сочинениях, пытаясь эти опорий опровергнуть или привести доводы в их пользу.

Первая опория: "Величина частей сущего оказывается зараз и бесконечно малой и бесконечно великой. А именно, имея вне себя бесконечное множество всех прочих частей, она составляет бесконечно малую частицу всего; но, с другой стороны, слагаясь сама из бесконечного множества частиц, она представляет величину бесконечно великую" (3, c.8)

Какие же следствия вытекают отсюда? Во-первых, вещей бесконечное множество (так как сущее делимо до бесконечности), и, во-вторых, каждая вещь занимает бесконечное пространство (вследствие бесконечности своих частей). Каждая вещь (как и любая часть ее) оказывается бесконечно великой по протяжению, сущее же, как совокупность всех вещей, будет бесконечным множеством бесконечно больших пространственных величин.

С другой стороны, каждая частица бесконечно мала, так как она отделена от всякой другой частицы бесконечным множеством частиц. Если отделить ее от всех других частиц, то она сама вовсе не будет иметь частей и величины. Дейссен "исправляет" первую антиномию Зенона следующим образом: "Тело, состоящее из множества частиц, было бы 1) бесконечно малым и 2) бесконечно большим. Оно было бы бесконечно малым, так как его можно делить до бесконечности: оказывается, что тело состоит из суммы бесконечно малых частиц; сумма же бесконечно малых частиц может дать лишь бесконечно малое. Тело было бы бесконечно большим, так как при беспрерывном делении мы получим, наконец, бесконечно много частиц; если из последних мы станем слагать тело, то, сколько бы их мы ни взяли, всегда будет оставаться еще бесконечное множество их, таким образом, вследствие того, что число их неисчерпаемо, мы можем увеличивать тело до бесконечной величины." (3, c.10).

Переходим ко второй антиномии. "Если допустить существование многих вещей, то окажется, что:

1) вещей конечное число (тезис) и 2) вещей бесконечное число (антитезис). Ход аргументации сводится к следующему. Тезис: Если существует множество вещей, то их столько, сколько есть, не больше и не меньше. Следовательно, они существуют в определенном (ограниченном) количестве. Антитезис: Если вещей много, то их должно быть бесконечное число. В самом деле, допустим существование только двух вещей. Между двумя вещами необходимо должна лежать какая-либо третья вещь, их разделяющая, между последней и первыми опять новые вещи, и так далее до бесконечности. В противном случае, две смежные вещи слились бы в единство, образовывали бы одну вещь (а не две). Таким образом, двух не существует без трех, трех без пяти, пяти без девяти и так далее до бесконечности (так как число разделяющих вещей оказывается равным бесконечному ряду 1, 2,4,8,16 и т.д.)" (3, c.12). В первой и второй антиномии Зенон рассматривает понятия единицы, конечного количества и количественной бесконечности. Диалектика числа у Зенона дает следующие результаты: единица = нулю, нуль = бесконечному числу, конечное количество (два) = бесконечному числу, часть = целому. Таким образом, понятие числа противоречиво, его применение незакономерно с точки зрения разума, число должно быть отнесено к области мнения и иллюзии.

Против пространства Зенон дает и специальное доказательство: "Все существующее находится где-нибудь, то есть в пространстве. А если так, то и само пространство, чтобы существовать, тоже должно находиться где-нибудь, т.е. в другом пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно находиться в третьем пространстве, третье в четвертом и так далее. Таким образом, получим пространство пространства и т.д. до бесконечности. Следовательно, приходится или признать бесконечное число пространств, заключенных одно в другом, или же совсем отрицать существование пространства" (3, c.14).

Как аргумент против пространства, так и аргумент против истинности чувственного восприятия заключают в себе опровержение множественности вещей. Аргумент против реальности чувственного восприятия известен под названием "пшенного зерна". В беседе с Протагором Зенон указывает: "между тем, как ни одно целое зерно, ни одна десятитысячная часть зерна при падении не издают звука, медимн пшена, падая, производит шум. Так кажется нам согласно свидетельству внешних чувств; однако разум требует, чтобы мы приняли что-либо одно: или и одно зерно и одна десятитысячная часть зерна при падении тоже издают звук, или и медимн пшена не производит шума. Ведь, в противном случае, мы получим, что сумма нулей равна не нулю, а некоторой положительной величине" (3, c.17).

Наибольшей известностью пользовались всегда Зеноновы доказательства против движения, которых до нас дошло пять:

1) доказательство общего характера,

2)"дихотомия",

3)"Ахиллес",

4)"стрела" и 5)"стадий".

Первое доказательство против движения весьма кратко: "Движущийся предмет не движется ни в том месте, где он находится, ни в том, где его нет"

(3, c.21). На вопрос, где происходит движение, должно ответить: нигде, так как тело не может двигаться там, где его нет; с другой стороны, занимая всегда пространство, равное своему объему, оно не может двигаться в этом месте, но покоится в нем.

Сущность доказательства, известного под названием "дихотомии", сводится к признанию невозможности движения на том основании, что движущийся предмет, прежде чем достигнуть какого-либо места, должен предварительно пройти половину пути, половину половины и так далее до бесконечного числа раз. Невозможно пройти бесконечное в конечное время.

Доказательства этой апории (как и ряд других его аргументов) покоится на невозможности представить себе законченной бесконечность. Пусть время и пространство одинаково бесконечно делимы: переход от одного пункта к другому делается через это вдвойне неосуществимым. Мы получаем бесконечное количество пространственных точек, с одной стороны, моментов времени, с другой. Но мысль не может представить себе законченность бесконечного: непонятно, как может быть осуществлено бесконечное число актов движения, как может быть последовательно быть занятым бесконечное число положений в пространстве, и как может, наконец, придти к концу бесконечное число моментов времени. Поэтому рассматриваемое нами доказательство Зенона скорее лишь упрощает условия реализации движения, выдвигая лишь один момент - бесконечную делимость пространства.

Третья опория имеет вид: "Быстроногий Ахиллес не может догнать черепахи, так как каждый раз, когда он достигает занимаемого ею места, черепаха успевает несколько подвинуться вперед. Таким образом, чтобы настичь черепаху, Ахиллесу необходимо занять бесконечное множество мест, которые занимала черепаха" (3, c.22). В отличие от "дихотомии" "Ахиллес" предполагает одинаково бесконечно делимыми как пространство, так и время: он поднимает ту же проблему, но в более усложненном виде. Действительно, главная трудность аргумента "Ахиллес" заключается в непонятности, как возможно преодоление того бесконечно малого пространства, которое всегда будет отделять Ахиллеса и черепаху, и, как справедливо указывает Шнейдер, решение вопроса требует нарушения параллелизма бесконечно делимых пространства и времени: Ахиллес настигнет черепаху, если в бесконечно малый промежуток времени он пройдет не бесконечно малое расстояние. Но это противоречит нашему убеждению, что движение требует времени. Итак, остается выбор между безвременным движением и движением бесконечным.

бесконечная величина зенон аристотель

Четвертое доказательство против движения - "стрела" утверждает: "Летящая стрела покоится" (3, c.25). В основе этого доказательства лежала предпосылка, что время есть сумма моментов, а пространство - сумма точек. Это доказательство могло иметь двоякую форму, смотря по тому, указывалось ли на то, что стрела постоянно находится в одном месте, или в одном моменте времени. Первая форма: "в каждом пункте пути летящая стрела занимает одно определенное место, равное своему объему. Двигаться же невозможно, если занимать равное себе место (ибо для движения предмет нуждается в пространстве, большем себя). Если же в каждом пункте пути тело находится в покое, то движение тела слагается исключительно из состояний покоя. Итак, ряд состояний покоя вместе образуют движение (сумма нескольких, так сказать, нулей движения дает некоторую положительную величину)". Вторая форма: "летящая стрела покоится, так как она всегда находится в одном каком-нибудь (настоящем каждый раз) моменте времени. Момент времени неделим, и потому в течение его стрела не может изменить своего положения: в противном случае, момент времени оказался бы разделенным соответственно двум положениям стрелы в этот момент. А так как время состоит только из отдельных моментов, то движущийся предмет всегда находится в покое" (3, c.28-29).

Пятое возражение против движения - "стадий": "С противоположных сторон движутся по параллельным линиям с равною скоростью равные массы и проходят мимо неподвижной третьей массы такой же длины. Оказывается, что одна и та же точка, движущаяся с одной и той же скоростью, пробегает одно и то же расстояние не в одинаковое время, но и в половинное время и в двойное, смотря по тому, с какого пункта мы будем наблюдать это движение. Таким образом, получаем нелепое следствие: половина равна целому" (3, c.33). Аргумент Зенона вскрывает относительность движения. Иначе представляется положение вещей, если смотреть на движение каждого тела в отдельности, и иначе, если наблюдать их движения вместе относительно друг друга.

Зенон использовал в апориях свойство бесконечной величины к постоянному увеличению. Он показал, что это свойство потенциальной бесконечности опровергает значимые понятия физики (пространство, время, скорость, движение), математики (число) а самое главное противоречат принятому человечеством восприятию окружающего мира. Поэтому аргументы Зенона еще больше создали загадок, тайн и противоречий вокруг свойств бесконечности.

В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности, что он мог сделать, поскольку ввел в философию понятия возможности (потенциальности) вообще и действительности (актуальности) вообще. Представление о бесконечном было уже присуще людям во времена Аристотеля. Ему оставалось лишь найти причины этого представления и подвергнуть его мощному воздействию своего аналитического ума.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность.

Аристотель отрицает актуальную бесконечность, под которой он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и вeличину. Он признает лишь потенциальную бесконечность. Величина может быть лишь потенциально бесконечной, превосходя все своей малостью, будучи непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея предел в направлении к наименьшему, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении к наибольшему, величина имеет предел в отношении к наибольшему, но не имеет предела в отношении к наименьшему). Но и число не может быть актуально бесконечным.

Аристотель понимает бесконечность как процесс - не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число, большее данного. Не может быть и наименьшей величины, но всегда может быть величина, меньшая данной. Эти весьма плодотворные мысли Аристотеля могли бы стать основой дифференциального исчисления, но так и не стали. Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое как то, что может быть меньше любой постоянной величины, а бесконечно большое как то, что может быть больше любой постоянной величины. Подводя этому итог, Аристотель говорит: "То, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное". Все это не укладывается в ту статическую картину мира, о которой мы говорили выше в связи с математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.

Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность пространства. Но время - бесконечно. С указанным различием связаны понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемого бесконечного по размерам тела (актуально бесконечного тела), но допускает существование потенциальной бесконечности. Ее нельзя понимать в том смысле, в каком, например, статуя потенциально содержится в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов превращается в актуальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго.

"Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным".

Актуальная бесконечность - это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это - чисто пространственное, одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происходящий в бесконечном времени и состоящий в бесконечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эквивалентом обладает понятие потенциальной бесконечности, протекающей во времени. Нет бесконечного "теперь", но есть бесконечная последовательность конечных "теперь".

Актуальная бесконечность - это некоторая обладающая реальным физическим бытием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение "данный момент" понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря, пространственное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное пространство, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно постигаемого тела.

"А что бесконечное существует, уверенность в этом проистекает у исследователей прежде всего из пяти (оснований): (1) из времени (ибо оно бесконечно); (2) из разделения величин (ведь и математики пользуются бесконечным); (3) далее, что только в том случае не прекратится возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее; (4) далее, из того, что ограниченное всегда граничит с чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз одно всегда необходимо граничит с другим (5). Но больше всего и главнее всего - что составляет общую трудность для всех - на том основании, что мышление (никогда) не останавливается (на чем-нибудь) и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что находится за небом. Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, так как и отрицание его существования, и признание приводят ко многим невозможным (следствиям).

Далее, каким образом существует бесконечное: как сущность или как свойство, само по себе присущее некой природе? Или ни так, ни этак, но все же бесконечное существует - или как бесконечное (по величине), или как бесчисленное множество. Для физика же важнее 2<м_а всего рассмотреть (вопрос), существует ли бесконечная чувственно-воспринимаемая величина.

И вот, прежде всего надо определить, в скольких значениях говорится о бесконечном. В одном значении - это то, что не может быть пройдено вследствие невозможности по природе сделать это, подобно тому как нельзя видеть голоса; в другом же (значении) - то, прохождение чего не может быть завершено - потому ли, что это едва ли выполнимо, или потому, что, будучи по природе проходимым, оно не имеет конца прохождения или предела. Затем все бесконечное (может быть таковым) или в допущении прибавления, или в отношении деления, или в обоих (отношениях).

Далее, как возможно бесконечному быть чем-то, что существует само по себе, если не существуют сама по себе число и величина, которым бесконечное присуще как некое состояние? Ведь ему меньше необходимости существовать самому по себе, чем числу или величине. Следовательно, оно не имеет частей и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать в действительности, ведь в этом случае ему необходимо быть неким количеством. Бесконечное, следовательно, существует как свойство.

А что много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, - (это тоже) очевидно. Тогда и для времени будет какое-то начало и конец, и величины не (смогут быть) делимы на величины, и численный ряд не будет бесконечным. Когда при таком положении дела начинает казаться, что ни одно (из решений) неприемлемо, возникает нужда в третейском судье, и (в конце концов) становится очевидным, что в каком-то смысле (бесконечное) существует, а в другом же нет.

В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть (беспредельно) делимой (так как нетрудно опровергнуть (учение) о неделимых линиях); остается, таким образом, бесконечное в возможности.

Бесконечное путем прибавления в некотором смысле есть то же самое, что и (бесконечное) путем деления, а именно: путем прибавления с конечной величиной происходит обратное: в какой мере она при делении очевидным образом идет к бесконечности, в такой же при прибавлении она будет казаться идущей к определенной (величине). Если, взявши от конечной величины определенную часть, прибавлять (к ней дальнейшие части, находящиеся друг к другу) в одинаковом отношении, но (только) не прибавлять повторно ту же самую часть целого, то (исходную) конечную величину нельзя будет пройти (до конца); если же настолько увеличить отношение, чтобы прибавлять все время одну и ту же величину, то пройти можно, так как всякую конечную величину (всегда) можно исчерпать любой определенной величиной. Иным образом бесконечного нет; оно существует лишь так - в возможности и при уменьшении. И бесконечное путем прибавления, которое мы назвали в некотором смысле тождественным бесконечному путем деления, существует в возможности таким же образом, так как вне его всегда можно что-нибудь взять. Однако оно не превзойдет любой определенной величины, как превосходит бесконечное путем деления всякую определенную величину, меньше которой оно всегда (в конце концов) будет. Таким образом, превзойти всякую величину путем прибавления нельзя даже в возможности, если только не существует бесконечного в действительности в смысле свойства (какого-то тела).

Надо признать основательным, что бесконечное путем прибавления не представляется таким, чтобы оно превосходило всякую величину, а бесконечное при делении именно таково. Ибо поскольку нечто может существовать в возможности, постольку оно допустимо и в действительности. Таким образом, так как ни одна чувственно-воспринимаемая величина не бесконечна, нет возможности превзойти любую определенную величину.

Вообще же очевидно, что невозможно говорить о существовании бесконечного тела и одновременно об определенном месте для тел, если всякое чувственно-воспринимаемое тело имеет или тяжесть, или легкость, и если оно тяжелое, то по природе перемещается к центру, если же легкое - вверх: необходимо ведь, чтобы (то же было) и с бесконечным, но ему всему невозможно испытывать какое-либо из этих двух (перемещений), а его половинкам и то и другое, ибо как его разделишь? Далее, всякое чувственно-воспринимаемое тело находится в (каком-нибудь) месте, виды же и различия места - вверху и внизу, спереди и сзади, справа и слева определены и в самом целом. В бесконечном же (теле) такие различия невозможны. А вообще, если невозможно существование бесконечного места, а всякое тело находится в каком-то месте, то невозможно и существование какого-либо бесконечного тела. Следовательно, если никакое количество не может быть бесконечным, так как количество есть нечто определенное, например (длиной) в два локтя или три локтя (ведь это означает количество), то таким же образом (бесконечным не будет) то, что (находится) в месте, потому что оно "где-нибудь", а это значит вверху, или внизу, или в каком-либо ином из шести направлений, а каждое из них есть некоторый предел. Итак, что не может быть актуально бесконечного тела, ясно из сказанного.

Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования; ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: (математикам) надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в (реально) существующих величинах".

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным". Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области, которое поддерживалось всеми последующими философами.

Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался на традицию неоплатонизма. Однако при этом он переосмыслил учение неоплатоников, начиная с центрального для них понятия единого. Он заявляет, что "единому ничто не противоположно", а отсюда делает характерный вывод: "единое есть все" - формула, звучащая пантеистически. Вот тут и появляется новый, возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что единое не имеет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному.

В представлении Н. Кузанского Бог не является некоей персонифицированной личностью. Он есть Абсолют, Единое, которое находится вне всяких противопоставлений. Философ ищет понятие, которое могло бы описать единство противоположностей; так как понятия, для которых можно всегда найти им противоположные, конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть неконечным: "приступающий к Тебе должен возвыситься над всяким пределом и концом, над всем конечным" (7, c.45). Бога он уподобляет пределу, в котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.

Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей - максимума и минимума. Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного.

"Когда исследование проводится в рамках вещей конечных, мы их можем сопоставить с чем-то знакомым для нас, и суждение о познаваемом вынести нетрудно. Но не так обстоят дела, когда исследование касается бесконечного. Бесконечность выходит за пределы всякой соразмерности, сходства и различия, ее нам не с чем сравнить, и поэтому она остается для нас неизвестной. Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может постичь истину вещей. Ведь истина не бывает ни больше, ни меньше и не может быть измерена ничем, кроме как самой истиной.

Только благодаря непрерывному усилию познать Бога мы приходим к пониманию, что он непознаваем. Истина неуловима и непостижима в своей чистоте, но, несмотря на это, чем больше ученость в "незнании истины", тем ближе мы к ней подходим. Разум движется к истине, и этот процесс бесконечен, подобно тому, как вписанный в круг многоугольник при бесконечном увеличении числа сторон приближается к кругу, но кругом не становится. Так и разум никогда не сможет постичь истину до конца, хотя бесконечно будет приближаться к ней" (7, c.55-57).

"В математике все конечно, иначе там даже воображением представить было бы ничего нельзя. Если мы хотим воспользоваться конечным как примером для восхождения к максимуму просто, то надо, во-первых, рассмотреть конечные математические фигуры вместе с претерпеваемыми ими изменениями; потом перенести эти основания соответственно на такие же фигуры, доведенные до бесконечности; в-третьих, возвести эти основания бесконечных фигур еще выше, до простой бесконечности, абсолютно отрешенной уже от всякой фигуры. Только тогда наше незнание непостижимо осознает, как нам, блуждающим среди загадок, надлежит правильнее и истиннее думать о наивысшем.

Итак, я утверждаю, что если бы существовала бесконечная линия, она была бы прямой, она была бы треугольником, она была бы кругом, и она была бы шаром; равным образом, если бы существовал бесконечный шар, он был бы кругом, треугольником и линией; и то же самое надо говорить о бесконечном треугольнике и бесконечном круге.

Во-первых, что бесконечная линия будет прямой, очевидно: диаметр круга есть прямая линия, а окружность - кривая линия, большая диаметра; если эта кривая тем меньше в своей кривизне, чем большего круга окружностью она является, то окружность максимального круга, больше которого не может быть, минимально крива, а стало быть, максимально пряма. Минимум совпадает таким образом с максимумом. Даже на глаз видно, что максимальная линия с необходимостью максимально пряма и минимально крива. Так мы видим, что максимальная и бесконечная линия по необходимости совершенно прямая и кривизна ей не противоположна; мало того, кривизна в этой максимальной линии есть прямизна. Это первое, что требовалось доказать.

Во-вторых, как сказано, бесконечная линия есть максимальный треугольник, круг и шар. В самом деле, уже доказано, что максимальным и бесконечным может быть только одно. Ясно также, раз всякие две стороны любого треугольника в сумме не могут быть меньше третьей, что если у треугольника одна из сторон бесконечна, две другие будут не меньше. Потом, поскольку любая часть бесконечности бесконечна, у треугольника с одной бесконечной стороной другие тоже обязательно будут бесконечными. Но нескольких бесконечностей не бывает, и за пределами воображения ты трансцендентно понимаешь, что бесконечный треугольник не может состоять из нескольких линий, хоть этот максимальный, не составной и простейший треугольник есть истиннейший треугольник, обязательно имеющий три линии, и, значит, единственная бесконечная линия с необходимостью оказывается в нем тремя, а три - одной, простейшей. То же в отношении углов: в нем будет только один бесконечный угол, и этот угол - три угла, а три угла - один. Не будет этот максимальный треугольник и состоять из сторон и углов, но бесконечная линия и угол в нем - одно и то же, так что линия есть и угол, раз весь треугольник - линия.

Понять это тебе поможет еще восхождение от количественного треугольника к неколичественному. Всякий количественный треугольник, как известно, имеет три угла, равные двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых исключительно, а не максимально, в соответствии с нашим первым принципом, однако допустим, что он увеличивается максимально до двух прямых включительно, оставаясь при этом треугольником. Toгда окажется, что у треугольника один угол, который есть три, и три образуют один. Точно так же ты сможешь убедиться, что треугольник есть линия.

Любые две стороны количественного тpeyгольника в сумме настолько длиннее третьей, насколько образуемый ими угол меньше двух прямых; например, поскольку угол ВАС много меньше двух прямых, линии ВА и АС в сумме много длиннее ВС. Значит, чем больше этот угол, например угол ВDС, тем меньше линии BD и DC превышают линию ВС и тем меньше поверхность. Если допустить, что этот угол приравняется двум прямым, весь треугольник разрешится в простую линию. Таким допущением, у количественных треугольников невозможным, пользуйся для восхождения к не-количественным, у которых, как видишь, невозможное для количественных становится совершенно необходимым. Отсюда тоже ясно, что бесконечная линия есть максимальный треугольник, как и требовалось доказать.

Теперь покажем яснее, что треугольник есть круг. Допустим, что треугольник АВС образован вращением линии АВ вокруг неподвижного А до совпадения В с, С. Нет никакого сомнения, что если бы линия АВ была бесконечной и В описало полный круг, вернувшись к началу, то получился бы максимальный круг, частью которого является ВС. Но поскольку ВС есть часть бесконечной дуги, ВС есть прямая линия; а так как всякая часть бесконечности бесконечна, то ВС не меньше всей дуги бесконечной окружности. Таким образом ВС будет не только частью, но и совершенно всей окружностью, и, значит, треугольник АВС с необходимостью есть максимальный круг. Причем окружность ВС как прямая линия не длиннее бесконечной АВ, раз больше бесконечности ничего не может быть; не будут ВС и АВ и двумя (отдельными) линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Стало быть, бесконечная линия, являясь треугольником, есть также круг, что и надо было установить.

Наконец, что бесконечная линия есть шар, обнаруживается так. Линия АВ есть окружность максимального круга и, больше того, сама круг, как уже доказано. Согласно вышеизложенному, она проведена в треугольнике от В до С. Но ВС - бесконечная линия, как тоже только что доказано; поэтому АВ возвращается в С, совершая полный оборот вокруг себя самой. Когда это происходит, из обращения круга вокруг себя с необходимостью возникает шар.

Итак, если выше доказано, что АВС есть круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, что АВС есть также шар. Это мы и ставили целью разыскания.

Поскольку, таким образом, в возможности конечной линии заключены все эти фигуры, а бесконечная линия есть действительным образом все то, возможность чего представляет конечная, то, следовательно, бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар, что и следовало доказать.

Если рассмотреть два угла - один тупой, другой острый, то по мере увеличения одного из них другой будет уменьшаться.

Когда один будет максимальным, другой - минимальным, они оба сольются с прямой. Каким назвать такой угол?"Он есть абсолютно острый и абсолютно тупой и в то же время и не острый, и не тупой". Таким образом, этот угол соединяет в себе максимум с минимумом, он являет