Основы теории систем и системный анализ

Термины теория систем и системный анализ или, более кратко — системный подход, несмотря на период более 25 лет их использования, все еще не нашли общепринятого, стандартного истолкования.

Причина этого факта заключается, скорее всего, в динамичности процессов в области человеческой деятельности и, кроме того, в принципиальной возможности использовать системный подход практически в любой решаемой человеком задаче.

Даже в определении самого понятия система можно обнаружить достаточно много вариантов, часть из которых базируется на глубоко философских подходах, а другая использует обыденные обстоятельства, побуждающие нас к решению практических задач системного плана.

Выберем золотую середину и будем далее понимать термин система как совокупность (множество) отдельных объектов с неизбежными связями между ними. Если мы обнаруживаем хотя бы два таких объекта: учитель и ученик в процессе обучения, продавец и покупатель в торговле, телевизор и передающая станция в телевидении и т. д. — то это уже система. Короче, с некоторой претензией на высокопарность, можно считать системы способом существования окружающего нас мира.

Более важно понять преимущество взгляда на этот мир с позиций системного подхода: возможность ставить и решать, по крайней мере, две задачи:

расширить и углубить собственные представления о “меха-низме” взаимодействий объектов в системе; изучить и, возможно, открыть новые её свойства;

повысить эффективность системы в том плане ее функционирования, который интересует нас больше всего.

Хотя хронология науки относит момент зарождения теории систем и системного анализа (далее ТССА) к средине текущего столетия, тем не менее, можно понять, что возраст ТССА составляет ровно столько, сколько существует Homo Sapiens.

Другое дело, что по мере развитие науки, прежде всего — кибернетики, эта отрасль прикладной науки сформировалась в самостоятельный раздел. Ветви ТССА прослеживаются во всех “ведомственных кибернетиках”: биологической, медицинской, технической и, конечно же, экономической. В каждом случае объекты, составляющие систему, могут быть самого широкого диапазона — от живых существ в биологии до механизмов, компьютеров или каналов связи в технике.

Но, несмотря на это, задачи и принципы системного подхода остаются неизменными, не зависящими от природы объектов в системе.

Для лиц вашей будущей профессии наибольший интерес представляют, естественно, экономические системы, а глобальной задачей системного подхода — совершенствование процесса управления экономикой.

Поэтому для нас с вами предметом системного анализа будут являться вопросы сбора, хранения и обработки информации об экономических объектах и, возможно, технологических процессах.

Используя классическое определение кибернетики как науки об общих законах получения, хранения, передачи и преобразования информации (кибернетика в дословном переводе — искусство управлять), можно считать ТССА фундаментальным разделом экономической кибернетики.

Сущность и принципы системного подхода

ТССА, как отрасль науки, может быть разделена на две, достаточно условные части:

· теоретическую: использующую такие отрасли как теория вероятностей, теория информации, теория игр, теория графов, теория расписаний, теория решений, топология, факторный анализ и др.;

· прикладную, основанную на прикладной математической статистике, методах исследовании операций, системотехнике и т. п. Таким образом, ТССА широко использует достижения многих отраслей науки и этот “захват” непрерывно расширяется.

Вместе с тем, в теории систем имеется свое “ядро”, свой особый метод — системный подход к возникающим задачам. Сущность этого метода достаточно проста: все элементы системы и все операции в ней должны рассматриваться только как одно целое, только в совокупности, только во взаимосвязи друг с другом.

Плачевный опыт попыток решения системных вопросов с игнорированием этого принципа, попыток использования "местечкового" подхода достаточно хорошо изучен. Локальные решения, учет недостаточного числа факторов, локальная оптимизация — на уровне отдельных элементов почти всегда приводили к неэффективному в целом, а иногда и опасному по последствиям, результату.

· Итак, первый принцип ТССА — это требование рассматривать совокупность элементов системы как одно целое или, более жестко, — запрет на рассмотрение системы как простого объединения элементов.

· Второй принцип заключается в признании того, что свойства системы не просто сумма свойств ее элементов. Тем самым постулируется возможность того, что система обладает особыми свойствами, которых может и не быть у отдельных элементов.

· Весьма важным атрибутом системы является ее эффективность. Теоретически доказано, что всегда существует функция ценности системы — в виде зависимости ее эффективности (почти всегда это экономический показатель) от условий построения и функционирования. Кроме того, эта функция ограничена, а значит можно и нужно искать ее максимум. Максимум эффективности системы может считаться третьим ее основным принципом.

· Четвертый принцип запрещает рассматривать данную систему в отрыве от окружающей ее среды — как автономную, обособленную. Это означает обязательность учета внешних связей или, в более общем виде, требование рассматривать анализируемую систему как часть (подсистему) некоторой более общей системы.

· Согласившись с необходимостью учета внешней среды, признавая логичность рассмотрения данной системы как части некоторой, большей ее, мы приходим к пятому принципу ТССА — возможности (а иногда и необходимости) деления данной системы на части, подсистемы. Если последние оказываются недостаточно просты для анализа, с ними поступают точно также. Но в процессе такого деления нельзя нарушать предыдущие принципы — пока они соблюдены, деление оправдано, разрешено в том смысле, что гарантирует применимость практических методов, приемов, алгоритмов решения задач системного анализа.

Все изложенное выше позволяет формализовать определение термина система в виде — многоуровневая конструкция из взаимо-действующих элементов, объединяемых в подсистемы нескольких уровней для достижения единой цели функционирования (целевой функции).

Проблемы согласования целей

Как уже отмечалось, в большинстве случаев (в экономических системах — повсеместно), показателем полноты достижения цели “жизни” системы служит стоимостной показатель. Разумеется, что выбор показателя — критерия эффективности системы, является заключитель-ным этапом формулировки целей и задач системы. Но нельзя упускать из виду, что от этого этапа будут зависеть наши представления о свойствах системы и результаты самого системного анализа.

Предположим, что по отношению к некоторой системе все формальные вопросы описания уже благополучно разрешены. Что же дальше?

А дальше надо системой управлять — точнее решать вопрос об алгоритме или тактике управления для достижения наибольшей эффективности. Скорее всего, именно в этой области и лежит поле профессиональной деятельности в вашей будущей профессии — делового администрирования, решения задач организационно-управленческого характера.

Вроде бы все очень просто — имеется предприятие, выделены его подсистемы (отделы), определены функции каждой подсистемы и каждого элемента в них, описаны связи внутри системы и по отношению к внешней среде. Так пусть каждый элемент функционирует оптимально — наиболее эффективно делает свое дело.

Но здесь почти всегда возникают противоречия, суть которых можно определить с помощью примера, ставшего классическим.

Рассмотрим деятельность некоторой фирмы, производящей определенные виды продукции и, естественно, стремящейся получить мак-симальную прибыль от ее продажи. Пусть решается простой вопрос — сколько готовой продукции хранить на складе предприятия и сколько разновидностей ее должно производиться? Посмотрим на “частные” интересы различных отделов фирмы и сразу же обнаружим их несовпадение.

Да, каждый из отделов заинтересован в достижении глобальной цели — максимуме прибыли фирмы (если это не так, то системный подход здесь бессилен). Но!

· Производственный отдел будет заинтересован в длительном и непрерывном производстве одного и того же вида продукции. Только в этом случае будут наименьшими расходы на наладку оборудования.

· Отдел сбыта, наоборот, будет отстаивать идею производства максимального числа видов продукции и больших запасов на складах.

· Финансовый отдел, конечно же, будет настаивать на минимуме складских запасов — то, что лежит на складе, не может приносить прибыли!

· Даже отдел кадров будет иметь свою локальную целевую функцию — производить продукцию всегда (даже в периоды делового спада) и в одном и том же ассортименте, так как в этом случае не будет проблем текучести кадров.

Вот и представьте себе сложность задачи управления такой большой системой с достижением глобальной цели — максимума прибыли.

Ясно, что придется ставить и решать задачи согласования целей отдельных подсистем и хорошо еще, если показатели эффективности подсистем имеют ту же размерность, что и показатель (критерий) эффективности системы в целом. Ведь вполне может оказаться, что эффективность работы некоторых подсистем приходится измерять не в денежном выражении, а с помощью других, не числовых, показателей.

Проблемы оценки связей в системе

Рассмотрим теперь вопрос о связях системы — между отдельными элементами подсистем, подсистемами разных уровней и связях с внешней средой. Хотя бы умозрительно можно полагать наличие каналов, по которым эти связи производятся. Но чем же “наполнены” такие каналы? Скорее всего, в экономических системах можно обнаружить и выделить только три типа наполнителей

продукция;

деньги;

информация.

Нет нужды объяснять принципиальные различия продукции и денег. Что же касается информации, то можно вспомнить ответ отца кибернетики Н.Винера на вопрос — так что же такое информация: это НЕ материя и НЕ энергия!

Возникает вопрос о том, как же согласовывать эти совершенно несопоставимые по размерностям показатели, как привести их к “общему знаменателю”? Ведь без такого согласования невозможно будет установить единый показатель эффективности системы в целом.

Вторая проблема оценки связей в системе станет понятной, если мы примем условное деление систем на естественные и искусственные. Никто не станет отрицать, что в природе все взаимосвязано — все “имеет свой конец, свое начало”. И, тем не менее, все согласятся с тем, что “поведение” природы (а тем более — человека) невозможно предсказать со 100% уверенностью.

Таким образом, вторая проблема оценки связей при системном анализе заключается в том, что количества продукции, суммы денег и показатели информационных потоков в каналах связи системы имеют стохастичную, вероятностную природу — их значения в данный момент времени нельзя предсказать абсолютно надежно.

Поэтому при системном анализе часто приходится иметь дело не с конкретными значениями величин, не с заранее определенными событиями, а с их оценками по прошлым наблюдениям или по прогнозам на будущее. Отсюда возникает необходимость использования специальных, большей частью прикладных, методов математической ста-тистики.

Если теперь вспомнить основное назначение системного анализа — получить рекомендации по вопросам управления системой или, по крайней мере, по совершенствованию этого управления, то возникает вопрос — а всегда ли оправдан системный подход? Ведь ясно, что для его реализации потребуются определенные и возможно немалые затраты времени и средств. Но, если выводы системного анализа, полу-ченные на его основе рекомендации, почти всегда не полностью достоверны, то выходит, что мы рискуем? Да, это так и есть.

Без риска ошибки в реальном, окружающем нас мире просто жить, а уж тем более действовать, — практически невозможно. Надо осознать, что даже самое точное следование рекомендациям науки не дает гарантии получить именно то, что мы задумали, проектировали, планировали. В утешение лишь скажем, что можно рисковать без попыток просчитать возможные последствия и можно рисковать в условиях, когда использованы все научные методы оценки этих последствий.

Это совершенно противоположные подходы, но нельзя считать ни один из них "юридически законным" или вытекающим из каких ни будь законов природы, нельзя считать стиль управления системой на основе системного анализа "правильным", "современным", "куль-турным". Другое дело — не знать о возможности применения системного подхода к вопросам управления — вот это неправильно, некультурно.

Пример системного подхода к задаче управления

Для закрепления темы введения в курс, с целью хотя бы частично осветить не затронутые еще вопросы системного анализа, рассмотрим конкретный пример из собственного практического опыта лектора.

В конце 70 г. г. украинский МинВуз принял решение глобального учета информации о текущей успеваемости студентов всех вузов Украины. Дело было поставлено с поистине советским размахом — каж-дые две недели семестра все студенты вуза проходили аттестацию по всем учебным дисциплинам. Вся эта лавина информации (конечно же, недостоверной — в виде прогноза будущей оценки на экзамене) передавалась в Киев. Сейчас дело не в том как она использовалась (в конце этой эпопеи оказалось — никак!).

Мы, в Криворожском горнорудном институте (теперь — технический университет) попытались использовать ситуацию для совершен-ствования управления учебным процессом, благо что процесс сбора информации был обусловлен приказом по министерству.

На первом этапе системного подхода к задаче был решен вопрос о выделении подсистем и их элементов. В качестве основных подсистем рассматривались всего три их разновидности:

подсистема “Студенты”;

подсистема “Кафедры”;

подсистема “Деканаты”.

Было понятно, что локальные цели каждой из подсистем отличались друг от друга (в первом случае это учеба, во втором — обучение, в третьем — управление обучением на уровне факультета).

Вместе с тем имелась и единая цель функционирования вуза — подготовка специалистов с высшим образованием по отдельным профи-лям. Была определена и мера оценки эффективности системы в целом, пусть даже в таком примитивном виде, как экзаменационные оценки знаний. Принималась во внимание иерархия подсистем в плане подчинения, направленность потоков знаний и информации о них в каналах связи между звеньями.

Были содержательно сформулированы две задачи:

· как по результатам текущего контроля знаний оценить эффективность процесса обучения на данном интервале семестра, обнаружить “узкие места” этого процесса;

· как оценить эффективность управляющих воздействий на систему обучения на конечном его этапе — после подведения итогов сессии.

При этом заранее предполагалось, что “виновниками” недостаточной эффективности обучения могут оказаться элементы любой из подсистем.

В самом деле, низкая успеваемость может быть обусловлена разными причинами:

слабой предварительной подготовкой студентов;

малоэффективными в данных условиях методами обучения;

промахами в организации обучения.

Заметим, что эти выводы пока никакого отношения к системному анализу не имеют, они сформулированы на основании понимания особенностей процесса обучения.

Здесь, на этом этапе системного подхода в любой сфере всегда необходимо обращаться к “технологии” процессов, происходящих в системе. А это означает, что в предварительной части системного анализа в равной степени должны участвовать как специалисты в области ТССА, так и знатоки процессов данной системы. Участие одного из них — лица, принимающего решения (далее — ЛПР) совершенно обязательно.

На следующем этапе в рассматриваемом примере были разработаны методы сбора, хранения и обработки информации. И здесь, как в любом случае системного подхода к задачам управления, пришлось решать проблему представительности собираемых данных.

Прежде всего, пришлось поставить и решить вопрос об оценках текущего контроля знаний, Поскольку это не метры, литры или килобайты, поскольку не существует шкалы знаний, то что должна означать оценка текущего контроля?

После обсуждения этих вопросов в среде специалистов (экспертов в области обучения в высшей школе) было принято решение — оценка текущего контроля знаний рассматривается как прогноз экзаменационной оценки.

И снова обратим внимание на тот факт, что такая договоренность между ЛПР и специалистами ТССА была бы необходима и в том случае, когда речь бы шла не о знаниях, а о будущих прибылях или надоях!

Здесь возможно различие в достоверности прогноза и то далеко не всегда, но со стохастичным характером данных системного анализа приходится мириться — такова природа явлений в реальной жизни.

Но и это еще не всё об информации, используемой при системном анализе. Далеко не всегда “измерения” чего-то можно производить без ощутимых последствий. И пусть даже сбор информации не приносит прямого морального или материального ущерба, что иногда вполне возможно, хотя и не всегда очевидно. Главное в другом — если мы хотим иметь информацию об элементе системы, то надо стремиться получить ее с наименьшими, информационными же, потерями.

В рассматриваемом примере не использовались никакие приборы, лишенные разума и эмоций, — источниками данных и “измерителями” являлись люди! В самом деле, необходимость предсказать свои собственные достижения в условиях, когда они не только от тебя зависят (прогнозировать итог экзамена студента), вне всяких сомнений, хоть чуть-чуть, но всё же меняет один из элементов, то есть преподавателя.

Моделирование как метод системного анализа

Одной из проблем, с которой сталкиваются почти всегда при проведении системного анализа, является проблема эксперимента в системе или над системой. Очень редко это разрешено моральными законами или законами безопасности, но сплошь и рядом связано с материальными затратами и (или) значительными потерями информации.

Опыт всей человеческой деятельности учит — в таких ситуациях надо экспериментировать не над объектом, интересующим нас предметом или системой, а над их моделями. Под этим термином надо понимать не обязательно модель физическую, т. е. копию объекта в уменьшенном или увеличенном виде. Физическое моделирование очень редко применимо в системах, хоть как то связанных с людьми. В частности в социальных системах (в том числе — экономических) приходится прибегать к математическому моделированию.

Буквально через минуту станет ясно, что математическим моделированием мы овладеваем еще на школьной скамье. В самом деле, пусть требуется найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 8 метров. Измерение сторон произведено приближенно — других измерений расстояний не бывает! Как решить эту задачу? Конечно же — не путем рисования прямоугольника (даже в уменьшенном масштабе) и последующем разбиении его на квадратики с окончательным подсчетом их числа. Да, безусловно, мы знаем формулу S = B· H и воспользуемся ею — применим математическую модель процесса определения площади.

Возвращаясь к начатому ранее примеру системного анализа обучения, можно заметить, что там собственно нечего вычислять по фор-мулам — где же их взять. Это так и есть, не существует методов расчета в такой сфере как “прием-передача” знаний и сомнительно, чтобы эти методы когда-либо появились.

Но ведь не существует формулы пищеварения, а люди все таки едят, планируют процесс питания, управляют им и иногда даже успешно.....

Так что же? Если нет математических моделей — не выдумывать же их самому? Ответ на этот вопрос самый простой: всем это уметь и делать — не обязательно, а вот тому, кто взялся решать задачи системного анализа — приходится и очень часто. Иногда здесь возможна подсказка природы, знание технологии системы; в ряде случаев может выручить эксперимент над реальной системой или ее элементами (т. н. методы планирования экспериментов) и, наконец, иногда приходится прибегать к методу “черного ящика”, предполагая некоторую статистическую связь между его входом и выходом.

Таким “ящиком” в рассматриваемом примере считался не только студент (с вероятностью такой-то получивший знания), но и все остальные элементы системы — преподаватели и лица, организующие обучение.

Конечно, возможны ситуации, когда все процессы в большой системе описываются известными законами природы и когда можно надеяться, что запись уравнений этих законов даст нам математическую модель хотя бы отдельных элементов или подсистем. Но и в этих, редких, случаях возникают проблемы не только в плане сложности урав-нений, невозможности их аналитического решения (расчета по формулам). Дело в том, что в природе трудно обнаружить примеры “чистого” проявления ее отдельных законов — чаще всего сопутствующие явление факторы “смазывают” теоретическую картину.

Еще одно важное обстоятельство приходится учитывать при математическом моделировании. Стремление к простым, элементарным моделям и вызванное этим игнорирование ряда факторов может сделать модель неадекватной реальному объекту, грубо говоря — сделать ее неправдивой. Снова таки, без активного взаимодействия с технологами, специалистами в области законов функционирования систем данного типа, при системном анализе не обойтись.

В системах экономических, представляющих для вас основной интерес, приходится прибегать большей частью к математическому моделированию, правда в специфическом виде — с использованием не только количественных, но и качественных, а также логических показателей.

Из хорошо себя зарекомендовавших на практике можно упомянуть модели: межотраслевого баланса; роста; планирования эко-номики; прогностические; равновесия и ряд других.

Завершая вопрос о моделировании при выполнении системного анализа, резонно поставить вопрос о соответствии используемых моделей реальности.

Это соответствие или адекватность могут быть очевидными или даже экспериментально проверенными для отдельных элементов системы. Но уже для подсистем, а тем более системы в целом существует возможность серьезной методической ошибки, связанная с объективной невозможность оценить адекватность модели большой системы на логическом уровне.

Иными словами — в реальных системах вполне возможно логическое обоснование моделей элементов. Эти модели мы как раз и стремимся строить минимально достаточными, простыми настолько, насколько это возможно без потери сущности процессов. Но логически осмыслить взаимодействие десятков, сотен элементов человек уже не в состоянии. И именно здесь может “сработать” известное в математике следствие из знаменитой теоремы Гёделя — в сложной системе, полностью изолированной от внешнего мира, могут существовать истины, положения, выводы вполне “допустимые” с позиций самой системы, но не имеющие никакого смысла вне этой системы.

То есть, можно построить логически безупречную модель реальной системы с использованием моделей элементов и производить анализ такой модели. Выводы этого анализа будут справедливы для каждого элемента, но ведь система — это не простая сумма элементов, и ее свойства не просто сумма свойств элементов.

Отсюда следует вывод — без учета внешней среды выводы о поведении системы, полученные на основе моделирования, могут быть вполне обоснованными при взгляде изнутри системы. Но не исключена и ситуация, когда эти выводы не имеют никакого отношения к системе — при взгляде на нее со стороны внешнего мира.

Для пояснения вернемся к рассмотренному ранее примеру. В нем почти все элементы были построены на вполне оправданных логических постулатах (допущениях) типа: если студент Иванов получил оценку “знает” по некоторому предмету, и посетил все занятия по этому предмету, и управление его обучением было на уровне “Да” — то вероятность получения им оценки “знает” будет выше, чем при отсутствии хотя бы одного из этих условий.

Но как на основании системного анализа такой модели ответить на простейший вопрос; каков вклад (хотя бы по шкале “больше-меньше”) каждой из подсистем в полученные фактические результаты сессии? А если есть числовые описания этих вкладов, то каково доверие к ним? Ведь управляющие воздействия на систему обучения часто можно производить только через семестр или год.

Здесь приходит на помощь особый способ моделирования — метод статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста — имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров для нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из ситуации по уравнениям модели просчитываются выходные (системные) показатели. Затем производится обратный расчет — по заданным выходным показателям производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы не должны ожидать — каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не обязательно будет “Да” на выходе.

Но существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос — а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы.

Процессы принятия управляющих решений

Пусть построена модель системы с соблюдением всех принципов системного подхода, разработаны и “обкатаны” алгоритмы необходимых расчетов, приготовлены варианты управляющих воздействий на систему. Надо понять, что эти воздействия не всегда заключаются в изменениях уровня некоторых входных параметров — это могут быть варианты структурных перестроек системы.

Так вот — все это есть. И что же дальше? Пора и управлять, управлять с единой целью — повышения эффективности функционирования системы (однокритериальная задача) или с одновременным достижением нескольких целей (многокритериальная задача).

Естественно, мы ставим вопрос: “А что будет, если …?” и ожидаем ответа. Но здесь не следует ожидать чуда, нельзя надеяться на однозначный ответ. Если к примеру, мы интересуемся вопросом — “к чему приведет увеличение на 20% закупок цемента?”, то мы должны не удивляться, получив ответ — “Это приведет к увеличению рентабельности производства кирпича на величину, которая с вероятностью 95% не будет ниже 6% и не будет выше 14%”. И это еще очень содержательный ответ, могут быть и более “расплывчатые”!

Здесь уместно в последний раз обратиться к примеру с анализом системы обучения и ответить на возможный вопрос — а как же были использованы выводы системного анализа обучения в КГРИ? Ответ одного из соавторов системного анализа, пишущего эти строки, очень краткий — никак.

Можно теперь открыть еще одну (не последнюю) тайну ТССА. Дело в том, что судьбу разработок по управлению большими системами должно решать только ЛПР, и только этот человек (или коллективный орган) решает вопрос дальнейшей судьбы итогов системного анализа. Важно отметить, что это правило никак не связано ни с “важностью” конкретной отрасли промышленности, торговли или образования, ни с политическими обстоятельствами, ни с государственным строем. Все намного проще — мудрость отцов-основателей ТССА проявилась, прежде всего, в том, что неполнота достоверности выводов системного анализа была ими заранее оговорена.

Поэтому те, кто ведет системный анализ, не должны претендовать на обязательное использование своих разработок; факты отказа от их использования не есть показатель непригодности этих разработок.

С другой стороны, те, кто принимают решения, должны столь же четко понимать, что расплывчатость выводов ТССА есть неизбежность, она может быть обусловлена не промахами анализа, а самой природой или ошибкой постановки задачи, например, попытки управлять такой гигантской системой, как экономика бывшего СССР.

где P(Xi) — вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.

Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.

Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния — так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину

{2 - 2}

принято называть дисперсией случайной величины X.

Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением

{2 - 3}

т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.

Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис. 1.

Таблица 2.2