Скачать

Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

Вступление

1. О роли задач в обучении математике

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.

Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой–то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". (17, с. 143)

Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач.(6, с. 119-120)

В книге (13, с. 165) М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:

"Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия."

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. (11, с.182)

Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.

2. Как учит решать задачи современная школа?

Однако использование задач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко от совершенства.

Как пишет А.Эсаулов (25, с.8) в психологии и педагогике обращается внимание преимущественно на то, как решаются уже кем–то найденные и вполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).

В современном математическом образовании (мы ориентируемся на страны бывшего СССР) отмечается следующий актуальный аспект: изучение математики на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную направленность. Молодёжи необходимо давать не просто конкретную сумму знаний, но и прививать ей навыки творчества, интерес к исследованию, формировать у неё положительную мотивацию. (11, с.136)

Интерес к учебной деятельности, подкрепляемый постоянным активным участием в открытии новых истин, проверке гипотез, поиском способа действий в задаче, является основным психологическим условием успешности этой деятельности. (11, с.129)

Школьные уроки математики по–прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления у детей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала. Однако главная его задача – всемерно содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся.(11, с.178)

Основную часть времени на уроке ученик проводит, решая задачи, и во многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс обучения математике. Но что же мы имеем на самом деле? На практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартного подхода.

По мнению Л.Фридмана, одной из основных в обучении математике функций задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач.

Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических задач. (22, с.151-152)

Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат вроде бы достаточное (или даже избыточное) количество задач, из которых учитель может составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и на разных учащихся. Однако учебный эффект получается, по мнению многих педагогов–исследователей, с которым мы вполне согласны, невысоким.

Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: "А мы такие не решали".

Каковы же причины этого широко распространённого явления?

Автор книги (14) видит основную причину в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Он пишет: "Проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения (ни в нашей стране, ни за рубежом) ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы."

Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, – на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, неподходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге академик Колмогоров. (7, с.76)

Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на уроке.

Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. (7, с.80)

Многие нарекания вызывает и подготовка школьников как абитуриентов, поступающих в ВУЗы на физико–математические специальности. Многолетняя практика приёмных экзаменов показывает, что воспитанные в традиционной школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ, однако интеллектуальное развитие большинства из них и, прежде всего, уровень абстрактного и логического мышления недостаточен для эффективного обучения по выбранной специальности.(11, с. 92)

Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы задач имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего, эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных, научных и т. д.

Рассмотрим более детально, как обстоит дело с задачами, представленными в действующих учебниках математики.

Анализ школьных учебников математики показывает, что с 5–го по 11–й класс ученики решают более 7000 задач. (11, с.171)

Если взглянуть на задачи, представленные в школьных учебниках математики, то все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.

Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных классификаций (по крайней мере, к этому стремятся авторы учебников): по их назначению – тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения – стандартные и нестандартные, по характеру требования – доказательные, вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то или иное отражение в школьных учебниках.

3. Формулировка проблемы

Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих учебниках за редкими исключениями. Речь идёт о классификации по характеру условия задачи – определённые, неопределённые и переопределённые. Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше?

Если учитель ставит целью научить своих учеников решать задачи из жизни, а не из учебников, то он должен научить их: 1) математизировать ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую, производственную и др. на язык математики); 2) выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи; 3) решать полученную математическую задачу; 4) анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее экономичные; 5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный ответ на язык бытовой, производственной и прочей практики).

Из перечисленных видов деятельности школа учит разве что третьему. Остальные затрагиваются в такой ничтожной мере, что говорить даже о частичном обучении здесь вряд ли следует. Например, если вспомнить о задачах неопределённых и переопределённых, то таких в современных учебниках насчитывается не более полупроцента, да и тех учителя чаще всего не замечают.

Приятным исключением из указанного правила является учебник (18). Его автор, профессор Н.Рогановский, предлагает задачи под рубриками, среди которых есть и такие: «Все ли возможные случаи рассмотрены?», «Достаточно ли данных для решения задачи?», «Сколько решений имеет задача?» и т. п. Естественно, задачи, предлагаемые под этими рубриками, соответствуют поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантов реализации условия, несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.

Но, как уже сказано, этот учебник – исключение. Большинство авторов других учебников такие задачи игнорируют. Может быть, считают их бесполезными и ненужными в обучении?

Однако, многие известные педагоги–исследователи считают использование таких задач полезным и необходимым.

Например, М.Крутецкий в своей книге "Психология математических способностей школьников" приводит такую классификацию:

1. Задачи с несформированным условием – задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.

2. Задачи с избыточным условием – задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.

3. Задачи с неполным составом условия – задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.

4. Задачи с противоречивым условием – задачи, содержащие в условии противоречие между данными. (9, с. 124-150)

В.А.Крутецкий описывает исследование, которое он с группой исследователей проводил во многих школах СССР в течение 12 лет с 1955 по 1966 годы. Исследователи использовали задачи различных типов, среди которых были и приведённые в этой классификации, в качестве тестовых заданий для выявления психологических аспектов математических способностей школьников. По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро, практически без помощи испытателя. Ученики средних способностей также неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести решение этих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с подсказкой испытателя не могли справиться с заданием.

Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи связывали наибольшие надежды.

В книге Д.Пойа "Как решать задачу" приводится похожая классификация, отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?

Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач, однако он не исключает возможности наличия некоторых "аномалий" в условии задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.

П.Эрдниев в своей книге (24, ñ.24,40) предлагает использовать в обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому лучше развивающие способности ученика.

У Н.Метельского встречается такая классификация задач. Между условием задачи (А) и её требованием (Х) может быть различное соотношение, определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будем понимать так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х. Если из условия А какое–либо данное опустить, то получим неопределённую задачу. Она имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение, выброшенное из условия. Наконец, условие может содержать, кроме А, некоторое дополнительное данное, и тогда задача называется переопределённой. В частном случае это "лишнее" данное может вытекать из тех, что уже имеются в задаче, и тогда задача оказывается определённой задачей. В остальных случаях переопределённая задача не имеет решения, поскольку её данные противоречат друг другу, несовместимы. Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако известную пользу, по мнению Н.Метельского, приносит учащимся знакомство с неопределёнными и переопределёнными задачами. (14, с.176-177)

Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений вообще.

В подтверждение этого мнения интересные факты приводит в своей статье "Остроугольный или тупоугольный?" И.Дегтянникова. Она пишет: "Решая задачу, часто даже не задумываемся о реальности её условия. Поэтому правы те авторы, которые включают в свои учебники задачи с нереальными условиями. Это заставляет проверять условия у всех задач. Кроме того, нереальные задачи – это готовая проблемная ситуация». (4)

Отсутствие указанных задач в школьных учебниках приводит к тому, что и учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их педагогическая подготовка содержит изъяны.

В заметке (5) В.Игнатенко пишет об ошибке, найденной в учебнике (1). В этом учебнике на с.135 приведена задача 536(б). Вот её текст: "Отрезок BD является биссектрисой треугольника АBC. Найдите DC, если AB=30, AD=20, BD=16 и ÐBDC=ÐC.

Вроде бы ничего особенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя решение двумя различными способами, заметил, что ответы в них не совпадают. Попытка смоделировать треугольник с данными, указанными в задаче, показала, что данные содержали противоречие. Оказывается, маститые авторы популярного учебника, включив противоречивую задачу в свой учебник, не заметили её противоречивости, как не замечали её и тысячи учителей, несколько лет работавших по этому учебнику.

Присутствие такой задачи (пока что только одной) в учебнике геометрии – только на пользу ученикам и учителям. Жаль, что эта задача – результат случайной оплошности авторского коллектива, а не результат её закономерного выбора.

Как пишет М.Буловацкий в своей статье (2), школьник, как правило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнению М.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования школьников.

По результатам эксперимента, описанного в статье, переопределённые (с избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных) задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у школьников не отработан навык отбора и предварительной оценки данных задачи. Как считает М.Буловацкий, отработке этого навыка нужно уделять специальное учебное время. (2)

Итак, анализ литературных источников выявляет важную для математического образования проблему: многие педагоги–исследователи указывают на целесообразность использования в обучении задач с «аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не реагируют.

Нас заинтересовала эта проблема с разных точек зрения. Во–первых, насколько полезно включение таких задач в школьный курс математики? Во–вторых, нужно ли специальное обучение учащихся решению таких задач? И если нужно, то каковы методические особенности такого обучения?

Поискам ответов на эти вопросы и посвящена настоящая работа.

I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи?

(констатирующие эксперименты)

Предварительно мы показали, что многие известные в педагогике учёные считают полезным включение неопределённых и переопределённых задач в процесс обучения. Почему же большинство учебников уделяет такое слабое внимание этим задачам? Может быть, учащиеся и без специального обучения в состоянии решать такие задачи? По крайней мере, выводы В.Крутецкого близки к утвердительному ответу. Но имеются и другие мнения.

Чтобы ответить на этот вопрос, был проведён ряд констатирующих экспериментов в разных классах.

Так, в период педагогической практики в 1997 году был проведен небольшой эксперимент в средней школе № 3 г. Орша.

Ученикам 6 класса, в составе которого на момент проведения эксперимента было 25 человек, на самостоятельной работе в качестве дополнительного задания была предложена следующая задача: в прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой задачи в классе выделилось несколько групп: 1 ученик не решил её вообще, мотивировав это тем, что не успел этого сделать; 2 ученика решили эту задачу полностью с объяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон; 1 ученик (кстати, участник областной олимпиады по математике) решил эту задачу полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этом возился с решением около 10 минут, а остальные ученики просто написали ответ к задаче без каких бы то ни было объяснений к нему.

После решения задания с учеником, полностью решившим задачу, была проведена беседа о том, с какими трудностями он столкнулся в процессе решения задачи, и выяснилось, что, решая эту задачу, он вначале думал, что в задаче даны два прямоугольника, площадь одного из которых он нашел сразу же и долго вычислял, как можно выразить площадь прямоугольника через его периметр. Но потом проверил, что длина периметра полностью соответствует длинам сторон, и решил, что в задаче речь идет об одном и том же прямоугольнике, а периметр дан только для того, чтобы запутать решение. На следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильно решается эта задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче является лишним данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуации длины сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требует проверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного характера, но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу без использования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в задаче является лишним данным, но никто не счёл нужным проверить, соответствуют ли данные друг другу. Результат самостоятельной работы (отсутствие "пятёрок" в работе с несложными задачами) заставил их всё же задуматься. Очередная беседа на ту же тему была воспринята ими уже с большим вниманием и пониманием. Учащиеся с большим интересом стали относиться к "не таким" (их определение) задачам, а позже и сами стали сочинять задачи с лишними данными, предлагая их друг другу и учителю как на уроках, так и вне уроков.

Нам представляется, что этот интерес можно объяснить новой необычной ситуацией в сфере знакомых вещей: для решения таких задач новых знаний не требуется, но требуется новый подход к ним, новые мыслительные приёмы. Т.е. происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует запросам растущего организма.

Был проведен эксперимент и в 10 классе той же школы, где на момент эксперимента было 13 учащихся. Им была предложена для решения следующая текстовая задача: в одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все 13 учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение и записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом все прекратили решение задачи. Далее им было предложено вернуться к условию задачи, и попробовать подставить полученный результат в условие. Здесь сразу же возникли трудности, поскольку из мензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученики отказывались понимать, как могло так получиться, что задача красиво решилась, но то, что получили в качестве ответа, не подходило по тексту задачи. Непонятным было также и то, как можно записать в ответе, что нет решения, когда на самом деле оно есть.

Задача вызвала резко негативное отношение десятиклассников, которые считали бесполезным решение таких задач для своего образования. Они требовали от учителя предлагать им для решения "нормальные" задачи, какие им и придётся решать при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, эксперимент показал не только недостаточное развитие мышления старшеклассников, но и то, что у них уже отсутствует стремление к такому развитию. Они сами (полагаем, не без участия учителей) определили себе "потолок" своего развития, своей образованности, что в принципе для человека ненормально.

Аналогичный мини–эксперимент был проведён и в ходе преддипломной педагогической практики в сентябре – октябре 1998 года. Он проводился с учащимися средней школы № 2 г. Орши. В эксперименте принимали участие ученики 11–го класса, который является лицейским классом при Могилёвском машиностроительном институте (выпускные экзамены по математике и физике в этом классе совмещены со вступительными экзаменами в институт). Уровень преподавания математики в этом классе достаточно высок (три ученика – участники областной олимпиады по математике, один – её призёр).

Этим учащимся были предложены на уроке для самостоятельного решения следующие задачи:

1.В параллелограмме стороны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь параллелограмма.

2.В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь параллелограмма.

С первой задачей возникли проблемы следующего характера: часть учеников, не обратив внимания на то, что в данной задаче параллелограмм определяется однозначно (высота 4 см может быть проведена только к стороне 3 см), выдали два ответа (12 см² и 20 см²); ещё одна часть учеников остановилась на одном решении, просто не рассмотрев возможный второй случай (ответ либо 12 см² либо 20 см²); и лишь один ученик сначала задал вопрос о том, сколько решений может иметь задача, и, получив совет "Думай!", выдал полное и правильное решение.

Со второй задачей у большей части учащихся дело обстояло практически так же, т.е. большинство указало только один ответ (даже подсказка о том, что решений может быть и больше, им не помогла), остальные – два ответа, но без обоснований. И лишь один ученик (тот же, что решил и первую задачу) решил самостоятельно и правильно эту задачу, выдав два ответа с аргументацией.

Как видим, результаты экспериментов показывают, что школьники не в состоянии самостоятельно справиться с задачами указанных типов. Они не ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не возвращаются с полученным решением к началу задачи, чтобы проверить его. Из чего можно заключить, что сформированность навыков решения математических задач у учащихся средних школ (даже в специализированных классах) является далеко не полной.

При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющиеся прежде всего их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть сколько–нибудь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Т.е. необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс намного раньше, чем в десятом классе.

При решении задач неопределённых учащиеся не умеют перебирать всевозможные случаи, которые возникают из–за этой неопределённости, и часто либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.

Итак, ответ на поставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к решению неопределённых и переопределённых задач, этому нужно их целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала задумаемся о том, чему могут научить задачи с «аномальным» условием?

II. Обоснование целесообразности задач с «аномальным» условием

Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении каждого из них.

1. Неопределённые задачи – задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.

2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?

С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а.

Получим:

10 + 8 > a;

a + 10 > 8;

a + 8 > 10;

а из этой системы следует, что

2 < a < 18.

Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня.

И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть?

Если в поезде х цистерн, то платформ х+4, а вагонов х+8. Вместе: 3х+12. Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: 25(3х+12) м, где х – натуральное число. Над "дизайном" ответа можно поработать, если переписать его так: 75(х+4). А теперь, переобозначив буквой х (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант ответа: 75х м, где х – натуральное число, не меньшее пяти.

Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стапроцентным результатом.

Третья из указанных здесь задач предлагалась девятиклассникам лицея. Результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба назвать несколько возможных ответов подтолкнула лицеистов к анализу и в конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х%, где хÎ(50;100).

Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме. В качестве такого примера можно рассматривать задачу: При каких значениях положительного параметра a уравнение log_ax=a^xбудет иметь единственное решение и указать его. Эта задача была предложена нашей группе (группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997 год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, что помогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания по широкому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.

Вообще, уравнения и другие задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаи неопределённых задач. Проблемность перехода к таким задачам ощущают учителя уже при переходе от уравнений 7х=12, 0х=3, –5х=0, 0х=0 к линейному уравнению общего вида: ах=. Предварительная тренировка в решении неопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.

2. Задачи переопределённые – задачи с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируют путь решения.

Как уже показано выше, данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения такой задачи.

Например, в задаче "Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см" мало найти ответ полупроизведением 9 на 40. Надо ещё выявить, будет ли у прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равной 41