Скачать

Некоторые дополнительные вычислительные методы

Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО “УГТУ-УПИ”

Курсовая работа

по “Вычислительной математике”

на тему: “Некоторые дополнительные вычислительные методы”

Семестр № 3

Преподаватель Кочнев В.П.

Студент гр. № р-23021д Логиновских М.А.

Номер зачетной книжки 17309013

Екатеринбург

2004

_____________________________________________________________________________

Домашнее задание по ________________________________ № ________________

№ записи в книге регистрации __________________ дата регистрации ___________200_г.

Преподаватель _________________________________________

Студент _________________________________________ группа № ________________

Деканат ФДО _______________

СОДЕРЖАНИЕ

1. Решение систем линейных уравнений …………………………………………………… 3

а) Схема Халецкого ……………………………………………………………………....... 3

б) Метод Зейделя и условия сходимости ………………………………………………… 5

2. Методы решения нелинейных уравнений ……………………………………………….. 6

а) Метод хорд ………………………………………………………………………………. 7

б) Метод Ньютона (метод касательных) …………………………………………………. 8

в) Метод итерации ………………………………………………………………………… 9

3. Интерполирование и экстраполирование ……………………………………………….. 11

а) Интерполирование с помощью многочленов ………………………………………… 11

б) Интерполяционный многочлен Лагранжа ……………………………………………. 12

в) Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя ……………………………… 13

г) Тригонометрическое интерполирование …………………………………….………... 15
д) Интерполяция сплайнами ……………………………………………………..………... 15

4. Численное дифференцирование и интегрирование ……………………………….…….. 16

а) Постановка задачи численного интегрирования ……………………………………... 16

б) Составные квадратурные формулы ………………………………………………….… 17

5. Приближенное вычисление обыкновенных дифференциальных уравнений ………….. 18

а) Метод Рунге-Кутта ……………………………………………………………………… 18

б) Экстраполяционные методы Адамса ………………………………………………….. 20

в) Метод Милна ……………………………………………………………………………. 20

г) Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений ………………... 21

6. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными ………………………………………………………………………………… 21

а) Классификация дифференциальных уравнений второго порядка …………………… 22

б) Постановка краевых задач ……………………………………………………………… 23

в) Метод конечных разностей (метод сеток) …………………………………………….. 24

г) Разностные схемы для решения уравнения теплопроводности ……………………… 25

д) Разностные схемы для решения уравнения колебания струны ……………………… 26

7. Список литературы ………………………………………………………………………… 27

1. Решение систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений (СЛУ) имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.д. Существует несколько способов решения таких систем, которые в основном делятся на два типа: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, 2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. Заметим, что даже результаты точных методов являются приближенными из-за неизбежных округлений. Для итерационных процессов также добавляется погрешность метода.

Пример системы линейных уравнений:

Или в матричном виде: ,

где матрица коэффициентов системы;

- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

Схема Халецкого

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде: ,

где A=(a_ij) – квадратная матрица порядка n и

, - векторы-столбцы.

Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы B=(b_ij) и верхней треугольной матрицы C=(c_ij) с единичной диагональю , где

и .

Тогда элементы b_ij и c_ij определяются по формулам

и

Отсюда искомый вектор x может быть вычислен из уравнений и .

Так как матрицы B и C – треугольные, то системы легко решаются:

и

Из этих двух формул видно, что числа y_i выгодно вычислять вместе с коэффициентами c_ij. Этот метод получил название схемы Халецкого. В схеме применяется обычный контроль с помощью сумм. Если матрица A – симметрическая a_ij=a_ji, то

Пример. Решить систему

Решение.

В первый раздел таблицы впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее так как , то первый столбец из раздела 1 переносится в первый столбец раздела II. Чтобы получить первую строку раздела II, делим все элементы первой строки раздела I на элемент, в нашем случае на 3.

Имеем: ; ; ; ; .

Переходим к заполнению второго столбца раздела II, начиная со второй строки. Пользуясь формулами, определяем : ; ; .

Далее определяя по формулам, заполняем вторую сетку для раздела II:

Затем переходим к третьему столбцу, вычисляя его элементы и по формулам и т.д., пока не будет заполнена вся таблица раздела II. Таким образом, заполнение раздела II происходит способом “елочки”: столбец - строка, столбец - строка и т.д.

В разделе Ш, пользуясь формулами, определяем и .

Текущий контроль осуществляется с помощью столбца ∑, над которым производятся те же действия, что и над столбцом свободных членов.

Метод Зейделя и условия сходимости

Этот метод представляет собой модификацию метода простой итерации. Его смысл заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения x_1, x₂, ..., x_i-1. Пусть дана приведенная линейная система (i = 1, 2, …n). Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным x₁, x₂, x₃, ..., x_n. Предположим, что k-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (k+1)–е приближение по следующим формулам:

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итерации. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода простой итерации достаточны и для сходимости метода Зейделя. То есть процесс итерации сходится, если выполнено одно из условий

1) или 2) .

Пример. Методом Зейделя решить систему уравнений

Решение. Приведем эту систему к виду, удобному для итерации,

В качестве нулевых приближений корней возьмем: ; ; .

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

и т.д.

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков помещены в таблице:

Точные значения корней: .

2. Методы решения нелинейных уравнений

Как известно, далеко не всякое уравнение f(x)=0 можно решить точно, т.е. не всегда можно найти число такое что f()≡0. В первую очередь это относится к трансцендентным уравнениям. Кроме того, даже для алгебраических уравнений степени выше четвертой не существуют формулы, выражающей их решения через коэффициенты уравнения при помощи арифметических операций и извлечение корней. Для уравнений третьей и четвертой степени формулы для отыскания корней существуют, но они настолько сложны, что практически не применяются. Поэтому большое значение имеет приближенное вычисление корней уравнения f(x)=0. Для этого существует множество методов некоторые, из которых мы рассмотрим.

Метод хорд

Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на интервале

(a, b) и f(a)f(b)<0. Пусть для определенности f(a)<0 и f(b)>0. Разделим отрезок (a, b) в отношении - f(a):f(b). Это даст нам приближенное значение корня x₁ = a + h₁, где

.

Далее этот прием применяем к одному из отрезков (a, x₁) или (x₁, b), на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x₂ и т.д. Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А(a, f(a)) и B(b, f(b)).

f(b)