Скачать

Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пусть φ(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d2φ + d2φ = 0

dx2 dy2

а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:

d2φ + d2φ = 0

dx2 dy2

где

q - элементарный заряд e;

εnn -диэлектрическая проницаемость кремния;

Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;

ε0 -диэлектрическая постоянная

0 D E

y

B G

C F

A H

x

На контактах прибора задано условие Дирихле:

φ| BC = Uu

φ| DE = Uз

φ| FG = Uc

φ| AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

dφ = 0 dφ = 0

dy AB dy GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

dφ = 0 dφ = 0

dy DC dy EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

φ| -0 = φ| +0

εok Ex |-0 - εnn Ex |+0 = - Qss

где Qss -плотность поверхностного заряда;

εok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

εnn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2}

x0 =0 , y0=0, xM1 = Lx , yM2 = Ly

xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj+ rj+1

i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1

Потоковые точки:

xi+ Ѕ = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1-1

2

yj+ Ѕ = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2-1

2

Обозначим :

U(xi,yj) = Uij

I(xi+Ѕ,yj) = Ii+Ѕ,j

I(xi,yj+Ѕ) = Ii,j+Ѕ

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Δφ = - q (Nd + Na)

ε0εn

Q(x,y)

по области:

Vij = { (x,y) : xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ , yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ }

xi+ Ѕ yj+ Ѕ xi+ Ѕ yj+ Ѕ

∫ ∫ Δφ dxdy = ∫ ∫ Q(x,y)dxdy

xi- Ѕ yj- Ѕ xi- Ѕ yj- Ѕ

Отсюда:

yj+Ѕ xi+Ѕ

∫(Ex(xi+Ѕ,y) - Ex(xi-Ѕ,y) )dx + ∫(Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,yj-Ѕ))dy=

yj-Ѕ xi-Ѕ

xi+ Ѕ yj+ Ѕ

= ∫ ∫ Q(x,y)dxdy

1. Ѕ yj- Ѕ

Здесь:

Ex(x,y) = - dφ(x,y)

dx (*)

Ey(x,y) = - dφ(x,y)

dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi + Ѕ,yj) = Ei+ Ѕ ,j = const

yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi - Ѕ ,yj) = Ei- Ѕ ,j = const (**)

xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj + Ѕ) = Ei,j+ Ѕ = const

xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj -Ѕ ) = Ei,j - Ѕ = const

xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ

yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ - Q(x,y) = Qij = const

Тогда

(Ex)i+ Ѕ ,j - (Ex)i -Ѕ ,j r*j + (Ey)ij+ Ѕ - (Ey)ij- Ѕ h*i = Qijh*i r*j

где h*i = hi - hi+1 , r*j = rj - rj+1

2 2

Теперь Еi+ Ѕ ,j выражаем через значение φ(x,y) в узлах сетки:

xi+1

∫Εx(x,yj)dx = - φi+1,j - φij

xi

из (**) при y=yj:

(Ex)i+ Ѕ ,j = - φi+1j - φij

hi+1

Анологично :

(Ey)i,j+ Ѕ= - φij+1 - φij

rj+1

Отсюда:

(Δφ)ij = 1 φ i+1,j - φ ij - φ i j - φ i-1,j + 1 φ i j+1 - φ ij - φ ij - φ ij-1 =

h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj

= Ndij + Naij

Граничные условия раздела сред

SiO2

ε1

Si y

εn

x

Для области V0j

yj+ Ѕ x Ѕ

εnε0 ∫(Ex(x Ѕ ,y) - E+x(0,y))dy + εnε0 ∫ (Ey(x,yj+ Ѕ) - Ey(x,j- Ѕ ))dx =

yj- Ѕ 0

x Ѕ yj+Ѕ

= q ∫ ∫ (Nd + Na)dxdy

0 yj-Ѕ

Для области V`0j

yj+ Ѕ x Ѕ