Скачать

Математика в химии и экономике

В школьном курсе математики довольно мало внимания уделяется задачам на смеси, концентрации растворов и производительности труда. Однако в последние годы на вступительные экзамены в ВУЗы такие задачи даются абитуриентам достаточно часто и вызывают у них затруднения.

Цель настоящего реферата – изучение методов решения таких задач, решение нескольких задач на изменение концентраций и на начисление простых и сложных процентов.

Кроме того, поскольку в настоящее время научная работа немыслима без компьютера я поставила себе дополнительную задачу освоить текстовый редакторWord, который используется наиболее широко.

Задачи на концентрации

Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”. Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;

б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V₁ и V₂, получается смесь, объем которой равен V₁+V₂, т.е. V₀ =V₁+V₂.

Заметим, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих ее компонент.

Задачи на смешивание при кажущейся простоте не являются очевидными. Так, в учебнике алгебры авторов Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина и др. в задаче

№ 491 допущена ошибка, которая не исправлена даже в 6 издании. Текст задачи гласит: “Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что !!!безводной серной кислоты в первом растворе было на 10% больше, чем во втором.” Если считать условие, выделенное курсивом верным, то

0,2 кг (0,8-0,6) безводной серной кислоты равно 10%, то есть, 100% ее равно 2 кг, а по условию задачи ее всего в обоих растворах 1,4 кг (0,8+0,6). Противоречие исчезает, если вместо знаков !!! вставить слово “концентрация”.

Рассмотрим для определенности смесь трех компонент А, В и С. Объем смеси V₀ складывается из объемов чистых компонент:

V₀=V_А+V_В +V_С,

а три отношения

c_A=V_А/V₀ , c_B=V_B/V₀ , c_C=V_C/V₀

показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент:

V_А=c_AV₀ , V_B=c_BV₀ , V_C=c_CV₀ .

Отношение объема чистой компоненты (V_А) в растворе ко всему объему смеси (V₀):

c_A=V_А/V₀=V_А/(V_А+V_В +V_С)                (*)

называется объемной концентрацией этой компоненты.

Концентрации - это безразмерные величины; сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице:

c_A+c_B+c_C=1.

Поэтому, для того чтобы структура раствора, состоящего из n компонент, была определена, достаточно знать концентрацию (n-1)-й компоненты. Если известны концентрации с_A , с_B ис_C компонент, составляющих данную смесь, то ее объем можно разделить на объемы отдельных компонент (рис. 1):

V₀=c_AV₀+c_BV₀+c_CV₀.               (формула 1)

Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина

р_А=c_A100% ,                  (**)

т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание: вещества А, то его концентрация находится по формуле

c_A=р_А/100% .

Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0,7. Процентному содержанию 10% соответствует концентрация 0,1 и т.д.

Таким же способом определяются и весовые (массовые) концентрация и процентное содержание, а именно как отношение веса (массы) чистого вещества А

в сплаве к весу (массе) всего сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Встречается сравнительно немного задач, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать удельные веса компонент, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонент с₁ и с₂ (с₁+с₂=1) и удельными весами компонент d₁ и d₂. Вес смеси может быть найден по формуле

G=V₁d₁+V₂d₂

в которой V₁ и V₂ - объемы составляющих смесь компонент. Весовые концентрации компонент находятся из равенств

k₁ =V₁d₁ / (V₁d₁ +V₂d₂)=c₁d₁ /(c₁d₁ +c₂d₂)=c₁d₁ /(c₁(d₁ -d₂)+d₂) ,

k₂ =V₂d₂ / (V₁d₁ +V₂d₂)=c₂d₂ /(c₁d₁ +c₂d₂)=c₂d₂ /(d₁ +c₂ (d₂ -d₁)) ,

которые определяют связь этих величин с объемными концентрациями.

Как правило, в условиях задач рассматриваемого типа встречается один и тот же повторяющийся элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A₁, А₂, А₃, ..., A_n, составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты A₁, А₂, А₃, ..., A_n войдут в получившуюся смесь.

Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонент A₁, А₂, А₃, ..., A_n. С помощью концентраций нужно “расщепить” каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонент A₁, А₂, ..., A_n в новой смеси.

Проиллюстрируем сказанное выше на примере следующей задачи.

Задача1. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р% и q% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r% меди?

Решение. Составим иллюстративный рисунок к этой задаче (рис. 2). Концентрация меди в первом сплаве равна р/100, во втором сплаве q/100.

Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то с помощью концентраций (ясно, что речь идет о весовых концентрациях) можно “расщепить” эти количества на отдельные составляющие:

х=хр/100 (кг меди) +x(1-p/100) (кг цинка)

и

y=yq/100 (кг меди) +y(1-q/100) (кг цинка).

Количество меди в получившемся сплаве равно

хр/100+yq/100 (кг меди),

а масса этого сплава составит х+у кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна

(хр/100+yq/100)/(х+у) .

По условию задачи эта концентрация должна равняться r/100:

(хр/100+yq/100)/(х+у)=r/100 ,

или

(хр+yq)/(х+у)=r .

Решим полученное уравнение. Прежде всего заметим, что уравнение содержит два неизвестных х и у. Нетрудно понять, что оба неизвестных однозначно не находятся. Концентрация получающегося сплава определяется не массой взятых кусков, а отношением этих масс. Поэтому в задаче и требуется определить не сами величины х и у, а только их отношение.

Отметим попутно, что выражение вида

F(x,y)=(ax+by)/(cx+dy) ,

называемое дробно-линейной функцией, часто встречается в задачах на составление уравнений. В числителе и знаменателе этой дроби стоят линейный однородные выражения, зависящие от х и у. Если не рассматривать случай у=0, то функция F(x,у) зависит фактически только от одной переменной, а именно от отношения x/y :

F(x,y)=(ax/y+b)/(cx/y+d)=j(x/y)

При этом уравнение F(x,y)=С позволяет найти это отношение.

Запишем уравнение задачи в следующем виде:

x(p-r)=y(r-q) .

Рассмотрим возможные случаи:

1)           p=r=q .

В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение показывает, что имеется бесчисленное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.

2)           p=r¹q .

В этом случае уравнение приобретает вид

х x 0=у(r-q),

откуда находим: х - любое, у=0. Физический смыслу этого решения понятен: если концентрация сплава, который требуется получить, совпадает с концентрацией первого сплава, но не равна концентрации второго сплава, то первого сплава можно взять сколько угодно, а второго сплава не брать вовсе.

3)           p¹r=q .

Получаем уравнение

x(p-r)=y x 0

откуда находим: у - любое, х=0.

4)           p¹r , p¹q , r¹q .

В этом случае можно написать

x=y(r-q)/(p-r) .

Поскольку у¹0, то

x/y = (r-q)/(p-r) .

Это значение будет давать решение задачи, если выполняется неравенство

(r-q)/(p-r)>0

которое, как нетрудно показать, имеет место, если значение r заключено между значениями р и q. Таким образом, если p¹q, то можно получить сплав с любым процентным содержанием меди между р и q.

Несмотря на то, что этот пример весьма простой, он достаточно хорошо иллюстрирует основной метод решения задач, связанных со смесями. Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 2. Три одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того как содержимое третьей пробирки разлили поровну в первые две, объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20% от первоначальной, а во второй увеличилась на 10% от первоначального значения. Во сколько раз первоначальное количество спирта в первой пробирке превышало первоначальное количество спирта во второй пробирке?

Решение. Введем в рассмотрение объем половины пробирки V₀ и концентрации растворов спирта в каждой из пробирок с₁, с₂ и с₃. Тогда первоначальное количество спирта в первой пробирке равно V₀с₁, во второй V₀с₂, в третьей V₀с₃ (рис. 3).

Для того чтобы решить задачу, подсчитаем количество спирта в первой и второй пробирках после того, как туда добавят содержимое третьей пробирки. Эти количества будут равны:

в первой пробирке

V₀с₁+1/2 V₀c₃ ,

во второй пробирке

V₀с₂+1/2 V₀c₃ .

Найдем новые концентрации спирта в этих пробирках. Для первой пробирки она равна

с₁=V₀с₁+1/2 V₀c₃ / 3/2 V₀ ,

для второй

с₂=V₀с₂+1/2 V₀c₃ / 3/2 V₀ .

По условию задачи с₁^*=0,8c₁ и с₂^*=1,1с₂, Тогда имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

2/3 c₁+1/3 c₃=0,8c₁ ,

2/3 c₂+1/3 c₃=1,1c₂ ,

или

2c₁ -5c₃ =0 ,

13c₂ -10c₃=0 .

Из этой системы, так же как и в предыдущей задаче нельзя определить все три концентрации с₁, c₂ и c₃. Но благодаря тому, что уравнения системы представляют собой однородные линейные выражения, из нее можно найти отношения двух концентраций к третьей например, с₁/с₃ и с₂/с₃:

m=с₁/с₃=5/2 , n=с₂/с₃=10/13 .

Количество спирта в первой пробирке относится к количеству спирта во второй пробирке, как m/n. Действительно,

V₀с₁/V₀с₂=m/n=13/4 .

Поэтому ответ в данной задаче такой: 13:4.

Обратимся теперь к задачам, которые можно объединить в одну группу из-за того, что их решение связано с выявлением общей закономерности изменения той или иной величины в результате многократно повторяющейся операции.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 3. В сосуде, объем которого равен V₀ л, содержится р%-ный раствор соли (рис. 4). Из сосуда выливается, a л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, т.е. какова будет концентрация соли после n процедур?

Решение. Очевидно, что первоначальное количество соли в растворе равно

p/100 x V₀ .

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось

p/100 x V₀ - p/100 x a = p/100 x V₀ (1-a/V₀)

соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной

c₁ = p/100 х (1-a/V₀) .

После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией c₁), в растворе осталось соли

1/100 х V₀ (1-a/V₀)-c₁a= p/100 х V₀ (1-a/V₀)² ,

а ее концентрация после добавления а л воды стала равной

c₂=p/100 х (1-a/V₀)² .

Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой

c_n=p/100 (1-a/V₀)ⁿ ,       (формула 2)

А теперь решим несколько задач.

1. Задача на разбавление.

Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л чистой кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?

Решение.

Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось 54-х литров кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты концентрации

100(54-х)/54%., то есть в этом растворе было х(54-х)/54 чистой кислоты. То есть

х+х=54-24

54х +54х-х² =5430

х² – 108х + 1620 = 0

х₁=90-не удовлетворяет условию задачи

х₂= 18

Следовательно, в первый раз вылили 18л кислоты, во второй раз – 12л.

2. Задача на смешивание. (задача № 491)

Условие приведено на стр.4.

Пусть х – масса 1-го раствора, тогда концентрация его 0,8/х, масса второго раствора 10-х, концентрация второго раствора 0,6/(10-х). Следовательно,

 -  = 0,1

0,8(10-х) – 0,6х = 0,1х(10-х)

х=20- не удовлетворяет условию задачи

х=4

Следовательно, масса первого раствора 4 кг, масса второго раствора 6 кг.

Задачи на банковские проценты:

За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

1. Простые проценты.

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S_0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит  руб., и величина вклада станет равной S₁=S₀. Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S₀ и не производится на величину. То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит П_n =  руб., а величина вклада вместе с процентами составит S_n = S₀ руб. (формула 3). Отношение S_n/S₀ называют коэффициентом наращивания простых процентов.

Пример 1.

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S₀ = 150 000 рублей сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% в год. Какой будет сумма S₄, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

В нашем случае S₀ = 150 000, p = 18, n = 4. По формуле S_n = S₀ ^. ( 1 + n ^. p/ 100 рублей имеем S₄ =150 000 ^. ( 1 + 18 ^. 4 / 100 ) = = 258 000 рублей .

За 4 года вклад увеличился на 108 000 рублей = 258 000 рублей – 150 000 рублей. Коэффициент наращивания по формуле S_n / S₀=1+n ^. p / 100 равен S₄/S₀= 1,72. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад S0 увеличился в 1,72 раза.

Пример 2.

Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк , если вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей ? Определите коэффициент наращивания.

Решение.

По условию, S₀ = 12 000, S₃ = 14 160, n = 3. Из соотношения S_n = S_o ^. ( 1 +n ^. p / 1 000 ) рублей имеем p = (S₃ / S₀ – 1 ) ^. 1 000 /n. Подставляем в полученное выражение заданные значения, вычисляем результат: p = 5,(9), т.е. p = 6% . Коэффициент наращивания равен S₃ /S₀ = 1,18.

2. Сложные проценты.

Если проценты начисляются не только на первоначальный вклад, но и на приросшие проценты, то такое начисление называют правилом сложных процентов. Это правило тесно связано с формулой определения концентрации раствора после n переливаний (формула 2).

Мы говорим, что имеем дело со “сложными процентами”, в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов - р%.

Некоторая величина S, исходное значение которой равно S₀, в конце первого этапа будет равна

S₁=S₀+p/100 х S₀ = S₀ (1+p/100) .

В конце второго этапа ее значение станет равным

S₂=S₁+p/100 х S₁ = S₁ (1+p/100) = S₀ (1+p/100)² .

Здесь множитель 1+p/100 показывает, во сколько раз величина S увеличилась за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множитель

1-a/V₀ .

В конце третьего этапа

S₃=S₂+p/100 х S₂ = S₀ (1+p/100)³ ,

и т. д.

Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины S определится формулой S_n= S₀ (1+p/100)ⁿ .           (формула 4)

Формула (4) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.

Пример3. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Во сколько раз увеличится величина вклада через 2 года?

Решение. Пусть величина вклада составляет S₀ руб. Тогда через 2 года эта величина станет равной S₂= S₀(1+p/100)² = (1,03)² S₀ = 1,0609 S₀

Ответ. В 1,0609 раза.

Приведем обобщение формулы (4) на случай, когда прирост величины S на каждом этапе свой.

Пусть величина S в конце первого этапа испытывает изменение на p₁%, в конце второго этапа - на р₂%, в конце третьего этапа - на p₃% и т. д. Если p_k>0, то величина S на этом этапе возрастает, если p_k<0, то величина S на этом этапе убывает.

Как говорилось выше, изменение величины S на р% равносильно умножению этой величины на множитель 1+p/100. Поэтому окончательный вид искомой формулы такой:

S_n= S₀ (1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) .     (формула 5)

Здесь S₀ - первоначальное значение величины S.

Иногда в задачах на составление уравнений встречается понятие “средний процент прироста”. Под этим термином понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов давал бы такое же изменение величины S, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных процентах изменения.

Средний процент прироста q% определяется формулой

S₀ (1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) = S₀ (1+p/100)ⁿ

или        q/100=(1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) -1 .

Отсюда видно, что средний процент прироста неравен среднему арифметическому величин p₁, р₂, ..., р_n . Здесь существует полная аналогия с определением известного из физики понятия “средняя скорость движения”.

Пример4. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8%. Определить средний ежегодный прирост продукции за этот период.

Решение. Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q%. Тогда

(1+4/100) (1+8/100) = (1+q/100)² .

Отсюда находим q =  - 100  5,98

ЗАДАЧИ НА РОСТ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ

1.Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р%, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10% больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59%?

Решение.

За первый год выработка возросла в (1+р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год – в (1+(р+10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1+р/100)(1+(р+10)/100) по сравнению с первоначальной и составила 1,4859:

(1+р/100)(1+(р+10)/100) = 1,4859

Отсюда р=17%

2. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение.

Пусть х – процент прироста продукции. Тогда после первого увеличения

Выпуск возрастет в (1+х) раз, после второго – во столько же. То есть

600(1+х)(1+х) = 726

Отсюда х = 10%

3. В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых оленей. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определить процент естественного прироста.

Решение.

Пусть х – процент естественного прироста. Тогда в конце 1-го года в стаде станет 3000(1+х/100)+700 оленей. За второй год число оленей увеличится в (1+х/100) раз по сравнению с началом года и станет 4400.

(3000(1+х/100)+700)(1+х/100) = 4400

Отсюда х=10%

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем реферате рассмотрены методы решения задач, связанных с изменением концентраций, начислением банковских процентов и ростом производительности. Эти задачи решаются по одинаковым алгоритмам. Рассмотрены наиболее типичные задачи, дано их решение.

Кроме того, для создания данного реферата на компьютере был изучен редактор текстов Word. Таким образом, цель реферата – изучение методов решения задач на концентрации и, банковские проценты и рост производитель-ности – достигнута, задачи, поставленные в реферате, выполнены.

Для решения задач, приведенных в настоящем реферате достаточно математического аппарата 8 класса. Однако, ряд задач по рассмотренным вопросам можно решить лишь обладая знаниями математики, получаемыми в старших классах школы. Поэтому целесообразно продолжить тему данного реферата в выпускном классе , тем более, что подобные задачи все чаще встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы.

1. М.В. Лурье, Б.И.Александров “Задачи на составление уравнений”.-М.: Наука,  1976.

2. 3000 конкурсных задач по математике.-М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

3. Справочник для поступающих в Московский университет в 1995г.-М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1995.

4. Математика в школе №№ 4,5 1998г.