Скачать

Магнитные свойства атомов

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Калужский филиал.

РЕФЕРАТ

“Магнитные свойства атомов ”

Магнитные свойства атомов

Все вещества (твердые, жидкие, газ, плазма) взаимодействуют с внешним электромагнитным полем. Это значит, изолированные атомы обладают магнитными свойствами. Этот раздел и посвящен изучению магнитных свойств.

§1.Орбитальный магнитный момент электрона

Наличие у атома этих свойств следует из представлений теории Бора.

Электрон, вращающийся по орбите ядра атома, эквивалентен контуру с током. Такой контур с током должен обладать магнитным моментом и, следовательно, должен вести себя в магнитном поле как подобно магнитному диполю. Определим орбитальный момент электрона: магнитный момент контура с током I равен

μ = I·S / C. (1)

I = e· V = e / T (2)

где С = 3 · 10⁸ см/с, I – сила тока (в электростатических единицах), S – площадь контура. S = π · r².

μ_l= l / (C) · νπr² = l / (2mC) · mr²ω, (3)

где ω = 2·π·ν, μ_l – орбитальный магнитный момент электрона. Орбитальный момент количества движения

|_l| = m · ν · = m · r² · ω (4)

где V = ω · r. Электрон, движущийся по орбите, эквивалентен контакту с током, сила которого I = eν = e / T (1). Подставляем (4) в (3), получаем

_l = e / (2mC) · _l(5).

Теперь в чисто классические рассуждения внесем квантовую поправку, учтем, что согласно квантовой механике орбитальный момент количества движения электрона _l равен:

|_l| = h / 2 π = (6).

Тогда

_l = e · h / 4π(7),

где l = 0, 1, 2, 3,…, n-1. Обозначим eh / (4πmC) = μ₀ и l(l+1) = l^*, получим

_l = μ₀ · l^*(8),

где μ₀ – магнетон Бора, служит единицей измерения атомных и молекулярных магнитных моментов и численно равен

μ₀ = eh / (4πC) = 9,23 · 10^-21 (9).

Так как заряд электрона отрицателен, то орбитальный магнитный момент электрона направлен в сторону, противоположную направлению вектора его орбитального момента количества движения _l.

Если атом находится во внешнем магнитном поле, то т.к. электрон обладает орбитальным магнитным моментом, векторы магнитного момента _l и момента количества движения _l займут по отношению к магнитному полю H определенное положение в пространстве.

Согласно квантовой механике проекции вектора _l на какое-либо заданное направление, в том числе и направление магнитного поля, могут быть только равными

P_lH = P_l cos (_l ) = h / (2π) · l ^* · Cos (_l ) = h / (2π) · m_l(10),

где m_l = ,…, , т.е. принимает 2l + 1 значений. Согласно (10) возможно углы между _l и определяют равенством

Cosα = Cos (_l ) = m_l/ l = m_l / l(l+1) (11).

Возможные ориентации вектора _l (P_l= р / (2π)·) в магнитном поле.

При данном орбитальном квантовом числе 1 магнитное орбитальное квантовое число m_l может принять любое из 2l + 1 значений и, следовательно, для данного _l может существовать 21+1 проекций вектор _l на направление магнитного поля. Для случая 1=2 показано на рисунке 1.

Возможные проекции орбитального момента μ_l H на направлении поля : μ_lH = μ_l Cos (_l ) = μ₀ l ^* (m_l / l ^*) = μ₀ m_l= eh / (4πmC) m_l(12)

кратны магнетону Бора.

Важной характеристикой магнитного поля микросистем является так называемое “гидромагнитное” (магнитномеханическое) отношение, величины магнитного момента к величине соответствующего механического момента микросистемы. Согласно (6) и (7) для орбитальных магнитного и механического моментов гидромагнитное отношение

γ_l = μ_l / P_l = e / 2mC (13)

В магнитном поле, ввиду наличия орбитального магнитного момента, атом ведет себя как диполь и обладает дополнительной энергией ΔΕ магнитного взаимодействия. Эта потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента μ_l с внешним магнитным полем равна

ΔΕ = (_l) = μ_l Н Cos(_l) = μ₀ l ^* H (m_l) / l ^* = μ₀ H m_l(14).

Приведенные рассуждения не совсем последовательны. Они полуклассические: в одних случаях привлекались понятия классической физики, в других – квантовой механики. Это делалось, исходя из соображений наглядности и простоты расчетов. Тот же самый результат можно получить на основе строгих квантово – механических рассуждений. При квантово – механических расчетах необходимо учесть, что при своем движении электрон “размазан” в пространстве около ядра, т.е. необходимо учесть пространственное распределение заряда. Поэтому нужно вычислить не линейный, а объемный ток. При этом вычисления показывают, что ни вдоль радиуса, ни вдоль меридианов, никакого тока нет. Они приводят к выводу, что ток течет только по широтам, как если бы мы имели дело с электроном, вращающимся в плоскости перпендикулярной оси вращения. Таким образом, квантово – механические вычисления также приводят к заключению о круговом линейном токе.

Это обстоятельство объясняет совпадения полуклассических рассуждений с квантово – механическими расчетами.

§2. Собственный магнитный момент электрона

Электрон помимо массы покоя m₀ заряда 1 обладает собственным моментом качества движения - _s и собственным магнитным моментом_s.

Электрон обладает орбитальным моментом качества движения _l спином и орбитальным магнитным моментом _l.

Величины механических моментов и их проекций определяются соотношениями:

- орбитальный момент количества движения электрона |_l| =,

где 1 = 0, 1, 2, 3,…, n-1;

- проекция орбитального момента на навление поля P_lH =m_l,

где m_l = , т.е. m_l принимает 2l+1 значений;

- спин – собственный момент количества движения электрона , где S = 1/2;

- проекция спина на направление поля P_SH =m_s, где m_s = ±1/2, т.е. m_s принимает 2S+1 значений.

Орбитальный магнитный момент электрона равен μ_l = μ₀ l ^*, где l ^* = .

На основании вышеприведенных соотношений для _l, _s, P_lH,P_lH и для μ₁ естественно предположить, что собственный магнитный момент электрона равен

μ_S= μ₀ S ^*.

Однако, вся совокупность экспериментальных факторов, с рядом из которых мы вскоре познакомимся, указывает на то, что собственный магнитный момент электрона вдвое больше этой величины, т.е. собственный магнитный момент электрона μ_S равен

μ_S = 2μ₀ S ^* (15), где S ^* = .

Т.к. заряд электрона отрицательный, то его собственный магнитный момент _s направлен в сторону, противоположную направлению спина _s.

Отношение собственного магнитного момента электрона к его спиновому механическому моменту _s (гиромагнитное отношение) равно

_s = _s / P_s = 2e / 2mC (16),

т.е. вдвое больше чем гиромагнитное отношение _l для орбитальных моментов электрона.

Во внешнем магнитном поле векторы собственного магнитного момента _s и спина _s электрона займут по отношению к полю вполне определенное положение, т.е. они могут относительно поля ориентироваться только вполне определенным образом. Проекция спина на какое-либо направление, в том числе и направлении внешнего магнитного поля , может только равняться либо (+ ½ · h / 2π) либо (- ½ · h / 2π), т.е. вектор _s, изображающий спин электрона, может иметь только два направления относительно поля (он либо параллелен, либо не параллелен полю). Отсюда следует, что проекция собственного магнитного момента электрона _s H на направление внешнего магнитного поля H равна

_SH = _s Cos (_s ) = 2 ₀ S^* (m^*/S^*) = 2 ₀ m_s(17),

где m_s = 1/2, Cos (_s ) = m_s / S.

Энергия взаимодействия собственного магнитного момента электрона с внешним полем равна

ΔΕ = (_s) = _s H Cos (_s ) = 2 ₀ H m_s(18)

Из (14) и (18) следует, что энергия взаимодействия = μ_l и μ_S с внешним магнитным полем по порядку величины будет ΔΕ ~ μ₀ H.

Отсюда для H = 10⁴ э, ΔΕ ~ 5 · 10^-5 эв, т.е. энергия взаимодействия μ_l и μ_Sс H⁴ ~ 10 э меньше энергии – взаимодействия для низко расположенных уровней.

ΔΕ_lS ~ 1/n³.

Существование механического (спина) и магнитного моментов у электрона и объяснение их свойств вытекает из релятивистской квантовой механики, из основного ее уравнения – уравнения Дирака. В частности, из релятивистской квантовой механики следуют соотношения (15), (16), (17), справедливость которых, как и существование спина, подтверждается экспериментами.

В экспериментах обычно подтверждается не сам магнитный момент микросистемы, а его проекция. Согласно (17), сколько m_s = 1/2, проекция собственного магнитного момента электрона по абсолютной величине равна одному магнетону Бора

_s H = 2 m₀ m_s = _0.

Часто под собственным магнитным моментом электрона подразумевают не его значение (15), а значение его проекции (17) и говорят, что электрон обладает магнитным моментом, равным по абсолютной величине одному магнетону Бора.

§3. Полный магнитный момент одноэлектронного атома

До сих пор мы рассматривали поведение орбитального _l и спинового _S магнитных моментов электрона во внешнем магнитном поле в предположении отсутствия взаимодействия между ними. Однако, в отсутствии внешнего магнитного поля между этими моментами существует взаимодействие, в результате которого имеют место взаимодействия между орбитальным _l и спиновым _s моментами количества движения электрона (l_s - взаимодействие). При этом векторы _l и _s прецессируют относительно вектора полного момента количества движения _J численно равного

|_J | = (h / 2π) , (19)

где внутренне квантовое число j принимает одно из значений j = l+s; l+s-1;… …(l-s).

|_l| = (h / 2π) =l^*,

|_s| = (h / 2π) =S^*,

|_J| = (h / 2π) =j^*.

Схема суммирование векторов _l и _s.

Причем проекция полного момента количества движения_J, на какое-либо направление равна _JZ = (h / 2π) mj, где m_j = j; j-1; ……, -j, т.е. m_J принимает 2j+1 значений. Т.к. у электрона помимо моментов _l и _s есть еше магнитные моменты: орбитальный _l и собственный _S, направленный противоположно соответствующим моментам количества движения, то рис.2 необходимо дополнить векторами _l и _S (см. рис. 3)_. При этом необходимо учесть, что отношение μ_S / P_S вдвое больше отношения μ₁ / P₁. Поэтому, если на рис. 3 вектор _l изобразить равным по длине вектору _l, то в том же масштабе длина вектора μ_S должна быть в два раза больше длины вектора _s, рис.3 выполнен с учетом этого обстоятельства. Из рис. видно, что вследствие того что, μ_S / P_S μ₁ / P₁ направление вектора результирующего магнитного момента ( = μ_S+μ₁ – полного магнитного момента атома) не совпадает с направлением вектора полного магнитного момента количества движения _J. Векторы _l и _s прецессируют вокруг направления того же вектора.

Схема суммирование векторов _l и _S.

Усредненное значение перпендикулярных составляющих обоих магнитных моментов за прецессии будет равно нулю, т.к. эти составляющие непрерывно меняют свое направление в пространстве.

Т.о., эффективный полный магнитный момент одноэлектродного атома будет равняться сумме параллельных составляющих векторов _l и _S, т.е. будет равен вектору _J. Следовательно, полный магнитный момент атома (в отсутствии внешнего магнитного поля) равен (см. рис. 3).

_J = μ₁ Cos (_lJ) + μ_S Cos (_SJ) (21)

_l| = (h / 2π) l^*; |_l| = ₀ l^*;

_J| = (h / 2π) j^*; |_S| = ₀ S^*;

_S| = (h / 2π) S^*;

На рисунке 3, на основании известной тригонометрической формулы, следует, что

Cos (_lJ) = (l (l +1) + j (j +1) – s (s + 1)) / 2

Cos (_SJ) = (s (s +1) + j (j +1) – l (l + 1)) / 2 (22)

Подставляя (8), (15), (22) в (21), получим

μ_J = μ₀ (3 j (j + 1) + s (s +1) – l (l + 1)) / (2) (23)

Умножая числитель и знаменатель на , приводим выражение (23) к виду

μ_J = μ₀ {1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1)} (24)

Величина g = 1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1) (25)

Называется множителем (фактором) Ланде, во многих явлениях играет важную роль.

Т.о. магнитный момент атома равен

μ_J = μ₀g = μ₀g j^*(26)

Если поместить атом в “слабое” магнитное поле, “слабое” настолько, чтобы взаимодействие моментов _l и _S между собой было значительно больше их взаимодействия с внешним магнитным полем. То есть в этом случае атом будет вести себя в поле как магнитный диполь с моментом, равным _l. Причем этот момент будет ориентирован относительно поля определенным образом. А именно так, чтобы проекция вектора _J на направление поля принимала значения

P_JH = P_JCos (_J) = h / 2πm_J, (27)

m_J = j, j-1, ……,- j. Cos (_J) = m_J / j^*.

И соответственно проекция магнитного момента атома μ_JH на направление внешнего магнитного поля будет равна.

μ_JH = μ_J Cos (_J) = μ_J (m_J / j^*) = μ₀gm_J(28)

Дополнительная потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним магнитным полем будет равна

ΔΕ = (_l) = μ_J H Cos (_J) = μ₀ g H m_J(29)

Векторы _l, _s, _J ориентируются определенным образом в пространстве относительно направления магнитного поля, что называется “пространственным квантованием“.

§4. Опыты Штерна и Герлаха

На пролетающие через неординарное магнитное поле атомы будет действовать не только момент сил, стремящийся повернуть их магнитные моменты в направлении поля, но будет действовать отклоняющая сила, обусловленная неодинаковой напряженностью магнитного поля у полюсов атомного магнитного диполя.

Пусть m₀ – величина “магнитного заряда“, сосредоточенного в каждом из полюсов атомного магнитного диполя. H₁ и H₂ – напряженность магнитного поля в точках A и B. Сила, действующая на диполь со стороны поля в направлении OX, равна F_X = F₂ – F₁ = m₀ (H₂ – H₁) = m₀ (dH / dx) dx.

dx = L cosα

F_X = m₀ L dH / dx Cosα,

μ = m₀ L – магнитный момент диполя.

F_X = μ dH / dx Cosα (30)

В зависимости от ориентации магнитного момента (угол α), диполь будет смещается вдоль оси ОХ (т.е. вдоль поля) либо в сторону увеличения напряженности магнитного поля.

Рис.5

Если атомы обладают магнитными моментами, которые могут произвольно ориентироваться относительно поля, то узкий первоначальный пучок атомов, летящий вдоль оси OY, пересекая неоднородное магнитное поле, направленное вдоль оси OX, растянется в широкую (в направлении поля) полосу, в соответствии с произвольными значениями cosα в пределах

-1cosα 1.

Рис. 6

Если магнитные моменты атомов могут ориентироваться относительно направления поля только вполне определенным образом, т.е. cosα может принимать только вполне определенные дискретные значения, то в соответствии с этим первоначальный пучок должен расщепиться на ряд компонент. Как следует из вывода соотношения (30).

Опыты могут доказать не только существование магнитного момента у атома, но и проверить достоверность выводов теории пространственного квантования.

В откачанном до глубокого вакуума сосуде 1 помещена маленькая печь 2, в которой находится кусочек серебра 3. При нагревании печи серебро испаряется, атомы Ag вылетают из печи во всех возможных направлениях с тепловыми скоростями (~ несколько сотен м/с). Несколько щелей 4 выделяют узкий пучок атомов серебра, летящий вдоль оси Y. Атомный пучок пролетает через область неоднородного магнитного поля, направленного вдоль оси X. На пластине 5, пучок конденсируется на ней. Атомный пучок расщепляется, что подтверждает справедливость теории пространственного квантования, доказано наличие у атомов магнитного момента.

Полный магнитный момент атома μ_J = μ₀ g j^*,

его проекция μ_JH = μ₀ g m_J,

где квантовое число m_J = j, j - 1, …, - j.

Отклоняющая сила

F_X = μ₀ g (dH / dx) m_J

Все атомы серебра находятся в основном состоянии ²S₄, орбитальным l = 0, спином S = ½, внутренним j = ½, множитель Ланде

g = 1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1)) = 2

Магнитное квантовое число m_J при j = ½ принимает только два значения i + ½ и – ½

Следовательно, возможны только две ориентации магнитного момента атома серебра в S - состоянии относительно поля H.

Со стороны поля H, согласно (31) будет действовать сила либо ₁ = μ₀ ( dx), либо ₂ = - μ₀ ( dx). Поэтому одни атомы смещаются в сторону возрастания поля, другие – в сторону уменьшения напряженности , вследствие чего пучок расщепляется на две компоненты, что подтверждилось на опыте.

Поэтому в S - состоянии l=0, то μ_l = 0 (μ_l = (e /2mC)P_l), следовательно, магнитный момент атома серебра в основном состоянии обусловлен собственным магнитным моментом электрона, и было определено в 1952 г.

μ_SH = 1.00116 μ₀,

а не μ_SH = 2μ₀m_s = μ₀, что следует из релятивистского уравнения Шредингера, уравнения Дирака. Это получило специальное название – аномального магнитного электрона. Аномальный магнитный момент электрона обусловлен его взаимодействием с собственным электромагнитным полем.

Эффект Зеемана

Является убедительным экспериментальным доказательством существования магнитного атомного момента и его пространственного квантования.

Если свет от источника рассматривать в направлении перпендикулярном магнитному полю (вдоль оси У), то каждая линии расщеплена и состоит из трех компонентов:

ν₀; ν₀ + Δν; ν₀ – Δν; где ν₀ – частота линии в отсутствие магнитного поля;

Δν0 = eH / 4πmC;

H – напряженность внешнего магнитного поля.

Если свет рассматривать вдоль направления магнитного поля (вдоль оси Х), то каждая расщепится только на две компоненты:

ν₀ + Δν; ν₀ – Δν.

В отсутствие магнитного поля атом находится в состоянии с энергией E_Y. Поместим его во внешнее поле . Появляется связь _l - _s – магнитное взаимодействие и взаимодействие _l - и _s - . Если слабое, то последнее взаимодействие сильное. Энергия атома в магнитном поле изменится за счет потенциальной энергии ΔΕΗ взаимодействия магнитного момента атома с магнитным полем и сделается равной EIH = EI + ΔΕΗ.

ΔΕΗ – потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома _l с внешним магнитным полем равна

ΔΕΗ = μ₀ g H M_I

где M_I – полное магнитное квантовое число при данном J имеет 2I + 1 значений, то есть M_I = I, I – 1, I – 2, …- I. Таким образом, в слабом магнитном поле каждый энергетический уровень E_I (каждый терм) атома расщепится на 2J + 1 подуровней с энергиями

E_JH = E_J + μ₀ g H M_I.

Обычно, расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле называют зеемановским расщеплением.

Энергетический уровень 2’P_l в магнитном поле расщепится на 3 подуровня. В 2’P_l состоянии L=1, S=0, I=0, то магнитное квантовое число M_I принимает три значения –

M_τ = +1; 0; -1.

Множитель Ланде для 2’P_l:

g₂ = 1 + (I (I + 1) + S (S + 1) - L (L + 1)) / 2I (I + 1))=1

В состоянии 2’P_l атом гелия в магнитном поле обладает энергетическими подуровнями:

E’_2H = E₂ + μ₀ H (M=1),

E’’_2H = E₂ (M=0),

E’’’_2H = E₂ - μ₀ H (M= - 1),

То есть уровень 2’P_l с энергией Ε₂ в магнитном поле расщепится на три подуровня с энергиями E’_2H, E’’_2H, E’’’_2H. Согласно правилам отбора ΔL = 1; ΔS = 0; ΔI = 0, 1; ΔM_I = 0, 1 при переходе 2’P_l - 1’S₀, в магнитном поле вместо одной линии λ₀ будет излучаться три линии: λ₁, λ₂ = λ₀, λ_3.

Причем линии, для которых ΔM_I = 0 (π - компоненты) согласно квантовой механике будут поляризованы линейно, то есть так, что электрический вектор расположен параллельно полю .

Линии, для которых ΔM_I = 1 (σ - компоненты), будут поляризованы так, что электрический вектор их волны расположен перпендикулярно полю и будут обладать круговой поляризацией (по правому и левому кругу).

Частоты, соответствующие этим линиям:

ν_l = (E’_2H – E_1H) / h = ((E₂ – E₁) / h) + μ₀ H / h.

Но (E₂ – E₁) / h = ν₀; μ₀ H / h = eH/(4πmC) = Δμ₀

Учтя знак электрона, получим

ν_l = ν₀ – eH / (4πmC) = ν_l - Δν₀

Аналогичным образом ν₂ = ν_l;

ν₃ = ν_l + eH / (4πmC) = ν_l + Δν₁

Элементы квантовой электроники

§1. Задачи квантовой электроники

В 50-х годах зародилась новая глава атомной физики, которая вскоре превратилась в самостоятельную область физики, получившая название квантовой электроники.

Основной задачей квантовой электроники является получение и усиление изучения с помощью квантовых систем, квантовых генераторов и усилителей, каковыми являются атомы, молекулы вещества в различных агрегатных состояниях (в газообразном, жидком, кристаллическом). В основе таких систем лежит индуцированное излучение.

Практическое использование эффекта индуцированного излучения было сделано в 50-х годах русскими учеными Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым.

Техническая направленность – применение квантовых систем для целей локации, навигации, телевидения, вычислительной техники, обработки информации и т.д.

§2. Спонтанное и индуцированное излучение

Атомы и молекулы находятся в определенных энергетических состояниях, находятся на определенных энергетических уровнях. Для того, чтобы изолированный атом изменил свое энергетическое состояние, он должен либо поглотить фотон (получить энергию) и перейти на более высокий энергетический уровень, либо излучить фотон и перейти в более низкое энергетическое состояние.

Если атом находится в возбужденном состоянии, то имеется определенная вероятность, что через некоторое время он перейдет в нижнее состояние и излучит фотон. Эта вероятность имеет две составляющие – постоянную и “переменную”.

Если в области, где находится возбужденный атом отсутствует электромагнитное поле, то процесс перехода атома в нижнее состояние, сопровождаемый излучением фотона и характеризуемый постоянной составляющей вероятности перехода, называется спонтанным излучением.

Спонтанное излучение не когерентно так как при этом различные атомы излучают независимо друг от друга. Если на атом действует внешнее электромагнитное поле с частотой, равной частоте излучаемого фотона, то процесс спонтанного перехода атома в нижнее энергетическое состояние продолжается по-прежнему, при этом фаза испускаемого атомом излучения не зависит от фазы внешнего поля.

Однако, наличие внешнего электромагнитного поля с частотой, равной частоте излучаемого фотона, побуждает атомы испускать излучение, повышает вероятность перехода атома в нижнее энергетическое состояние. В этом случае излучение атома имеет ту же частоту, направление распространения и поляризацию, что и вынуждающее внешнее излучение. Излучение атомов будет находиться в отдельном фазовом состоянии с внешним полем, то есть будет когерентным. Такой процесс излучения называется индуцированным (или вынужденным) и характеризуется “переменной” составляющей вероятности (она тем больше, чем больше плотность энергии внешнего электромагнитного поля). Поскольку на стимулирование перехода энергия электромагнитного поляне расходуется, то энергия внешнего поля увеличивается на величину энергии испущенных фотонов. Эти процессы постоянно происходят вокруг нас, так как световые волны всегда взаимодействуют с веществом.

Однако одновременно протекают и обратные процессы. Атомы поглощают фотоны и становятся возбужденными, а энергия электромагнитного поля уменьшается на величину энергии поглощенных фотонов. В природе существует равновесие между процессами испускания и поглощения, следовательно, в среднем в окружающей нас природе нет процесса усиления электромагнитного поля.

Пусть имеем двухуровневую систему.

Схема переходов в двухуровневой системе

N₂ – число атомов в единице объема в возбужденном состоянии 2. N₁ – в невозбужденном состоянии 1.

dN₂ = - A₂₁ N₂ dt,

число атомов в единице объема, покинувших состояние 2. A₂₁ – вероятность спонтанного перехода отдельного атома из состояния 2 в состояние 1. Проинтегрировав, получим

N₂ = N₂₀ e^A₂₁^t,

где N₂₀ – число атомов в состоянии 2 в момент времени t = 0. Интенсивность спонтанного излучения I_c равна

I_c = (hμ₂₁ dN₂) / dt = hμ₂₁ A₂₁ N₂ = hμ₂₁ A₂₁ N₂₀ e ^{– A}₂₁^t,

Интенсивность спонтанного излучения убывает по экспонентциальному закону.

Число атомов, покидающих состояние 2за время от t до t +dt, равно A₂₁ N₂dt, то есть это число атомов, которое прожило время t в состоянии 2. Отсюда среднее время жизни τ атома в состоянии 2 равно

τ = (1 / N₂₀)₂₁ N₂ tdt = A₂₁e^-A₂₁^t

dt = (1 / A₂₁)τ = 1 / A₂₁

I_c = hμ₂₁ A₂₁ N₂₀ e ^{– A}₂₁^t = (hμ₂₁ N₂₀ / τ) · e

Вероятностью индунцированного перехода W₂₁ 2 – 1 пропорционально спектральной плотности энергии электромагнитного поля ρ_ν на частоте перехода, то есть

W₂₁ = B₂₁ ρ_ν,

B₂₁ – коэффициент Эйнштейна индуцированного излучения.

Вероятность перехода 1- 2

W₁₂ = B₁₂ ρ_ν,

ρ_ν = (8πhμ³₂₁ / c³) · (1 / e -1) формула Планка.

§3. Условие усиления излучения

Система состоит из большого числа изолированных атомов. Через нее распространяется параллельный монохроматический пучок света, причем частота этого пучка света соответствует частоте перехода между состояниями 1 и 2.

N₁ иN₂ – заселенности состояний, то есть число атомов в единице объема в состоянии 1 и 2. Сумма заселений всех состояний равна N₀ в единице объема. В отсутствие внешнего электромагнитного поля атомы в единице объема за время dt, излучают энергию W_U0. В присутствии электромагнитного поля – W_U.

Тогда приращение энергии излучения при наличии внешнего электромагнитного поля

ΔW = W_U – W_0U = x ρ_ν c Δνdt,

где Δν – эффективная ширина линии с частотой ν.

Если Х > 0, то излучение будет системой атомов усиливаться.

Если X < 0, то по мере распространения излучения в среде, интенсивность его будет уменьшаться, будет излучение поглощаться.

Чтобы излучение усилилось, необходимо, чтобы

N₂ > N₁,

То есть среда обладает интенсивной заселенностью. То есть число атомов в возбужденном состоянии было больше. Эту систему еше называют системой с отрицательной температурой, процесс поглощения фотонов протекает менее интенсивно, чем процесс испускания. Чтобы квантовая система могла усиливать излучение, избыток атомов в возбужденном состоянии должен быть больше определенной величины.

§4. Резонаторы

ΔN = N₂ – N₁; I = ρ_ν cΔν; χ = σ ΔN – коэффициент излучения.

Процесс усиливается, если ΔN > 0, χ > 0. Но это недостаточное усиление. Излучение усиливается, если индуцированное излучение с избытком компенсирует все потери электромагнитного излучения в веществе.

(χ - æ) L << L << 1.

L – толщина активного слоя вещества – вещества с инверсной заселенностью.

Открытый резонатор

1 – 2 – зеркала, r = 1.

3 – активное вещество.

Применен принцип обратной связи – усиленный сигнал возвращается в усилитель, где он снова усиливается.

æ = (1 -r) / L – коэффициент поглощения на зеркалах.

ΔΝσ > æ / σ + (1 - R) / (2Lσ)

R – коэффициент отражения зеркала, через которое выходит лазерный луч R < r.

æ (p) = (1 - R) / 2L потери в системе вещество