Скачать

Доказательства теорем

Т.Сумма смежных углов = 180°

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

∠ВАС ∠ДСА внутр. одностор. (1рис)

∠ВАС ∠ДСА внутр. накрест лежащ. (2)

∠ЕАВ ∠АСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ∠ =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,рпрямые| |.

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. ∠1=∠2

Но ∠1=∠3 (вертикальные)р∠3=∠2.Но ∠2 и ∠3-накрестлежщие.рПо Т 1 a | | bn

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. ∠=180°, то прямые | |n

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие ∠=, со-

ответств.∠=, сумма внутр.одност∠=180°.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся ∠90°.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ⊥ ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (∉ данной прямой) можно опустить перпендикуляр⊥ на данную прямцю и только 1.

3. две прямые ⊥ 3-й параллельны.

4. Если прямая ⊥ 1-й из | | прямых, то она ⊥ и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)

R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого∇ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. ∇ пересек. в 1 тчке -

центр впис. Круга.

4. Все 3 ⊥, восстановленные из середин сторон ∇, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.

5. Средняя линия | | и = ? основания

H(опущ. на стор. a) = 2vp(p-a)(p-b)(p-c)

a

M(опущ на стор a) = ? v 2b2+2c2 -a2

B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c

p - полупериметр

a?=b?+c?-2bx, х-проекция 1-й из сторон

Признаки равенства ∇: 2∇=, если = сотв.

1. 2 стороны и ∠ между ними.

2. 2 ∠ и сторона между ними.

3. 2 ∠ и сторона, противолеж. 1-му из ∠

4. три стороны

5. 2 стороны и ∠ , лежащий против большей из них.

Прямоугольный ∇ C=90° a?+b?=c?

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний ∇ H= v3 * a/2

S ∇= ? h a =? a b sin C

Параллелограмм

d?+d