Движение в центральном симметричном поле
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
Немного теории
Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r) . Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля
Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const
(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = ( rF ). Уравнение получается из уравнения L = ( p ). Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем
Так как - есть скорость v частицы, а p = m v , то первый член есть m ( vv ) и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F . Таким образом, .)
Поскольку момент L = m ( rv ) перпендикулярен направлению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L . Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля
Данное уравнение можно записать в виде:
где d s - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного про и з в еде шь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах d s и r , есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора , описанного радиусом-вектором дв и жущейся точки за время dt . Обозначив эту площадь через dS, можно записать велич и ну момента в виде
Величина называет ся секториальной ско ростью
Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней свод и тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел
Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:
m 1 v 1 +m 2 v 2 =0,
где v 1 , v 2 - скорости част и ц. Введем также относ и тельную скорость частиц
v = v 1 - v 2
Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы
в ы ражающие скорости каждой из частиц через их относит е льную скор о сть
Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим
где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После простого приведения членов получим
,
где m обозначает величину
называемую приведенной массой частиц
Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r) . Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной “приведенной” частицы во внешнем поле
Постановка задачи
Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил
, представим (скорость) в полярных координатах
Рассмотрим треугольник ABD:
ds~AB, следовательно
,
откуда получаем
Выразим
(*)
Осталось выразить характер траектории
(**)
Подставим выражение (*) в (**)
Проинтегрируем
Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле
Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля
, где
Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену
Сделаем замену ,
тогда
Далее применим формулу
В итоге получаем
,
где ;
Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля
При e >1 – гипербола;
e =1 – парабола;
0< e <1 – эллипс;
e =0 – окружность;
Литература:
1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц “Курс общей физики. Механика и молекулярная физика” Москва 1965 г
2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.
Категории:
- Астрономии
- Банковскому делу
- ОБЖ
- Биологии
- Бухучету и аудиту
- Военному делу
- Географии
- Праву
- Гражданскому праву
- Иностранным языкам
- Истории
- Коммуникации и связи
- Информатике
- Культурологии
- Литературе
- Маркетингу
- Математике
- Медицине
- Международным отношениям
- Менеджменту
- Педагогике
- Политологии
- Психологии
- Радиоэлектронике
- Религии и мифологии
- Сельскому хозяйству
- Социологии
- Строительству
- Технике
- Транспорту
- Туризму
- Физике
- Физкультуре
- Философии
- Химии
- Экологии
- Экономике
- Кулинарии
Подобное:
- Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХСодержание 1. Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизме
- Двойное лучепреломление электромагнитных волн
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Оглавление Поляризация света 1. Свойства электромагнитных волн 2. Поляризация света Вид
- Динамические законы и механический детерминизм
Министерство образования РФКамский государственный политехнический институтРЕФЕРАТ НА ТЕМУ:«ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И МЕХАНИЧЕСКИЙ ДЕТЕ
- Динамические и статистические закономерности от истоков до современности
ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТ ИСТОКОВ ДО СОВРЕМЕННОСТИОглавление Введение 1. Лапласовский детерминизм 2. Динамическ
- Динамические и статистические законы
Министерство общего и профессионального образования.Государственный Университет Управления.Реферат на тему:“Динамические и стат
- Диссипативные структуры
КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТРЕФЕРАТ НА ТЕМУ:«Диссипативные структуры.»ВЫПОЛНИЛ СТУ
- Дифракционный контраст
Московский Авиационно-Технологический Институт (МАТИ-РГТУ)им. К.Э.ЦИОЛКОВСКОГОКУРСОВАЯ РАБОТАПО ДИСЦИПЛИНЕ«РЕНТГЕНОГРАФИЯ И КРИСТАЛ