Скачать

Уравнения линейной регрессии

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Тула - 2010 г.


Содержание

Задача 1

Задача 2 (а, б)

Задача 2 в


Задача 1

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Табл. 1.1.

Х33172317362539201312
Y43273229453547322224

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

Табл. 1.2.

tyxyx

143331419108942,2360,7640,58490,2588,360,018
2271745928927,692-0,6920,47942,2543,560,026
3322373652933,146-1,1461,3130,252,560,036
4291749328927,6921,3081,71142,2521,160,045
545361620129644,9630,0370,001156,25129,960,001
6352587562534,9640,0360,0012,251,960,001
747391833152147,69-0,690,476240,25179,560,015
8322064040030,4191,5812,50012,252,560,049
9221328616924,056-2,0564,227110,25134,560,093
10241228814423,1470,8530,728132,2592,160,036
3362358649635112,020828,5696,40,32
Средн.33,623,5864,9635,1

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки , остаточную сумму квадратов , найдем остаточную дисперсию по формуле:

Расчеты представлены в табл. 2.


Рис. 1. График остатков ε.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

Табл. 1.3.

0,584
2,1200,479
0,2061,313
6,0221,711
1,6150,001
0,0000,001
0,5270,476
5,1572,500
13,2284,227
2,4620,728
31,33712,020

d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.

,

значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).

 для ν=8; α=0,05.

Расчет значения произведен в табл. 2. Получим:


Так как , то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Значит,. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. .

Коэффициент детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05


т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

,

значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е<5%/

6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax

Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86


Найдем границы интервала:

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.

8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид

;

Проведем линеаризацию переменной путем замены .


Расчеты произведем в табл. 3.

Модель имеет вид:

Табл.1.4.

tyxХуХ

143330,0301,2900,00136,8706,13037,5770,143
227170,0591,5930,00332,135-5,13526,3680,190
332230,0431,3760,00234,683-2,6837,1980,084
429170,0591,7110,00332,135-3,1359,8280,108
545360,0281,2600,00137,2897,71159,4600,171
635250,0401,4000,00235,260-0,2600,0680,007
747390,0261,2220,00137,6449,35687,5350,199
832200,0501,6000,00333,600-1,6002,5600,050
922130,0771,6940,00629,131-7,13150,8510,324
1024120,0831,9920,00728,067-4,06716,5400,169
3362350,49515,1380,029297,9851,445
Средн33,623,50,0501,5140,003

Найдем индекс корреляции по формуле

,


значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (10,692>5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.


Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.

Табл. 1.5.

tyxYХ